Статистическая обработка результатов прямых равнорассеянных измерений

Под статистической обработкой результатов измерений здесь подразумевается обработка результатов многократных прямых измерений одной и той же физической величины. Их также называют «измерения с многократными наблюдениями» или «серия измерений».

Подготовка массива результатов наблюдений (многократных измерений) к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-минимум состоит в исключении из результатов измерений переменных систематических составляющих, задача-максимум – в исключении всех систематических составляющих. Методы выявления, оценки и исключения систематических погрешностей были рассмотрены ранее. Следует вспомнить, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей.

Невыявленные систематические погрешности – результат невнимательности или низкой квалификации метролога и обсуждению не подлежат. Неисключенные остатки систематических погрешностей следует оценить и сопоставить со случайной составляющей, чтобы признать пренебрежимо малыми или (при необходимости) учесть в представлении результатов измерений как это описано ниже.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же величины.

Обработку начинают с расчета среднего арифметического значения исправленных результатов наблюдений Ã (получение точечной оценки результата измерения)

_n

à = (Σ x_i.) /n

^{i =1}

где х_i – i-й результат наблюдения;

Затем возможно выполнение двух промежуточных операций для проверки правильности расчетов Ã:

Расчет отклонений V_i результатов наблюдений от среднего арифметического значения

V_i = Ã – x_i .

Расчет суммы отклонений (отклонения суммируют с учетом знаков)

_n

Σ V_i. ≈ 0

^{i =1}

Если сумма отклонений практически равна нулю, расчеты значений Ã и V_i можно считать правильными, в противном случае необходимо перепроверить расчеты.

Расчет оценки с к о результатов наблюдений

где –точечная оценка результата измерения;

n – число результатов наблюдений;

– оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

Далее при необходимости и возможности выполняют проверку гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона ² или Мизеса-Смирнова ². При 50 > n > 15 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (обозначим его W), механизм использования которого представлен в справочном приложении 1 ГОСТ 8.207.

Проверки по критериям согласия проводят с уровнем значимости q от 10 % до 2 %. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.

При n ≤ 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.

В случае обнаружения подозрительных результатов проводят статистическую проверку наличия/отсутствия результатов с грубыми погрешностями.

При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию 3σ

|V_extr| > 3σ.

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с первого шага.

Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (оценку с к о среднего арифметического значения) определяют из зависимости

,

где х_i – i-й результат наблюдения;

–результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n – число результатов наблюдений;

– оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

При наличии ранее рассчитанного значения S можно воспользоваться той же зависимостью, представленной в виде

___

S(Ã) = S /√ n

Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности ε результата измерения рассчитывают из зависимости

,

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений n (находят из таблицы 8.1, взятой из справочного приложения 2 ГОСТ 8.207).

В случае отсутствия значимых неисключенных систематических составляющих погрешности за значения границ погрешности результата измерения Δ принимают полученное значение ε.

Таблица 8.1 – Значение коэффициента t для случайной величины Y, имеющей распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы

n-1	Р=0,95	Р=0,99	n-1	Р=0,95	Р=0,99
3	3,182	5,841	16	2,120	2,921
4	2,776	4,604	18	2,101	2,878
5	2,571	4,032	20	2,086	2,845
6	2,447	3,707	22	2,074	2,819
7	2,365	3,499	24	2,064	2,797
8	2,306	3,355	26	2,056	2,779
9	2,262	3,250	28	2,048	2,763
10	2,228	3,169	30	2,043	2,750
12	2,179	3,055	∞	1,960	2,576
14	2,145	2,977

Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями. Иногда принимают Р = 0,99 если существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента или имеются иные причины.

При числе степеней свободы более 30, что приравнивается к бесконечности, чаще всего используют округленные значения коэффициента t, принимая t ≈ 2 при Р = 0,95 и t ≈ 2,6 при Р = 0,99, а при вероятности свыше 0,99 для простоты принимают t ≈ 3.

Далее при наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θ_i рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные методические систематические погрешности, погрешности средств измерений и погрешности от других источников.

В качестве границ частных неисключенных систематических погрешностей принимают, например, пределы допускаемых погрешностей используемых мер (гирь, концевых мер длины) и/или других средств измерений, если эти погрешности представлены в их паспортах или иных документах. При использовании аттестованных средств измерений, если в результаты измерений вносится взятая из аттестата поправка, границей частной неисключенной систематической погрешности считают предельную погрешность аттестации.

Суммирование составляющих неисключенной систематической погрешности результата осуществляют на основе допущения о том, что все неисключенные систематические погрешности можно рассматривать как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределений этих величин, их распределения принимают за равновероятные. Такое распределение приписывают погрешностям, поскольку его можно считать наихудшим из возможных вариантов.

Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции всех неисключенных систематических погрешностей. Эти границы (без учета знака) можно вычислить с использованием зависимости

,

где Θ_i – граница i-й неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.

Значение доверительной вероятности для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают таким же, как и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

Значение коэффициента k при выбранной доверительной вероятности Р = 0,95 принимают равным 1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (m > 4). Если число суммируемых погрешностей равно четырем или менее четырех (m ≤ 4), то коэффициент k определяют по графику (рисунок 8.1) зависимостей k = f (m, l), представленному в стандарте ГОСТ 8.207.

Значение аргумента l рассчитывают по формуле

,

где Θ₁ – составляющая, наиболее отличающаяся от других числовым значением,

Θ₂ – составляющая, ближайшая к Θ₁.

Д

Рисунок 8.1 – Графики зависимостей k =f (m, l):

кривая 1 для m = 2; кривая 2 для m = 3 и кривая 3 для m = 4

алее для оценки значимости неисключенных систематических погрешностей по сравнению со случайными берут соотношениеΘ/S(Ã).

Неисключенные систематические погрешности считают пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей, если их значение менее 0,8 S(Ã). В таком случае принимают, что граница погрешности результата измерения Δ = ε.

Если значение неисключенной систематической погрешности превышает 8,0 S(Ã), то пренебрегают случайной погрешностью как пренебрежимо малой по сравнению с систематической и принимают, что граница погрешности результата Δ = Θ.

В стандарте говорится, что погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения (случайной или неисключенной систематической), при выполнении указанных неравенств, не превышает 15 %.

Если отношение неисключенной систематической составляющей погрешности к случайной находится между двумя указанными пределами, т.е.

0,8 ≤ Θ/S(Ã) ≤ 8,0,

то границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. В таком случае допускается границы погрешности результата измерения Δ (без учета знака) вычислять с использованием зависимости

,

где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

S_Σ – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент K вычисляют по эмпирической формуле

.

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения определяют из зависимости

,

__

где Θ_i/√3 – оценка среднего квадратического отклонения i-й неисключенной систематической погрешности, полученная на основе ранее представленного допущения о равновероятном распределении этих погрешностей в границах ±Θ_i, а соответственно Θ_i²/3 – дисперсия этого отклонения.

В стандарте сказано, что оформление результатов измерений должно соответствовать требованиям МИ 1317-86 «Методические указания. ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров».

Простейшая форма представления результатов измерений, предложенная ГОСТ 8.207 для случая симметричной доверительной погрешности

,

где – точечная оценка результата измерения,

Δ – доверительная граница результата измерений,

Р – доверительная вероятность.

Числовое значение точечной оценки результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности Δ.

При отсутствии данных о видах функций распределений случайных и неисключенных систематических составляющих погрешности, результаты измерений можно представить в форме

В случае если границы неисключенной систематической погрешности вычислены как композиция неисключенных частных систематических погрешностей, следует дополнительно указывать принятую в расчетах доверительную вероятность Р.

Эту форму нельзя считать окончательной, очевидна необходимость анализа погрешностей и дальнейшей обработки результатов для представления их в нормированном виде, соответствующем требованиям МИ 1317-86.