Определение сезонной составляющей временного ряда

В зависимости от характера сезонных колебаний различают два вида моделей – аддитивная и мультипликативная.

По аддитивной моделивременной ряд с сезонными колебаниями представляется в виде:

где: - значение прогнозируемой переменной для-го момента времени;

- трендовая составляющая ;

- сезонная составляющая ;

- случайная ошибка.

По мультипликативной моделивременной ряд с сезонными колебаниями имеет в вид:

Для решения вопроса о том какая из рассматриваемых моделей должна быть выбрана для конкретного временного ряда, необходимо построить график изменения прогнозируемой величины во времени и проанализировать изменение амплитуды сезонных колебаний (Рис.16.). В случае если амплитуда сезонных колебаний не имеет ярко выраженной тенденции к изменению во времени, то тогда может быть выбрана аддитивная модель (a), в противном случае предпочтительна мультипликативная (б).

Рис 16. Временные ряды, характерные для аддитивной (а) и мультипликативной(б)моделей.

Наиболее просто сезонная составляющая может быть определена с помощью скользящих средних с периодом осреднения равным периоду сезонных колебаний L.

Скользящая средняя – это переменная значения которой равны среднему арифметическому значения исследуемой величины в точке для которой она вычисляется и значений всех точек, отстоящих от нее на 0.5*(L- 1) слева и справа в случае еслиLнечетное и 0.5L– еслиLчетное. При вычислении значения скользящей средней для следующей точки временного ряда номера точек, участвующих в вычислении смещаются на единицу.Длинна периодасезонных колебаний – это число временных интервалов, через которые характер изменения временного ряда повторяется.

Таким образом для их вычисления скользящей средней вначале необходимо определить длину периода сезонных колебаний L. В простейшем случае найти ее можно на основании визуального анализа данных. Затем для каждой точки исходного временного ряда необходимо вычислить средние значения переменной. В случае еслиLчетное, полученный ряд скользящих средних СС_tоказывается смещенным относительнона величину равную половине временного интервала. Значения скользящей средней при этом соответствуют уже не конкретным интервалам, например первому или второму интервалу, а второй половине интервала 1 и первой половине интервала 2 (рис. 17). Следующее значение скользящей средней соответствует половинам интервалов 2 и 3 и т.д. Смещенная на пол интервала скользящая средняя называетсямежинтервальной скользящей средняй. Для устранения возникшего смещения полученные скользящие средние с любым четным периодом осреднения необходимо еще раз усреднить с периодом усреднения, равным двум. Полученная в результате повторного осреднения скользящая средняя называетсяцентрированной скользящей средней.

Рис. 17. Получение центрированных скользящих средних с периодом осреднения равным двум. Где:

- значения yt;

- межинтервальные скользящие средние для точек 1-2 и 2-3 соответственно;

- интервальная скользящая средняя для точки 2.

Как видно из схемы расчетов в результате усреднения число значений скользящей средней оказывается меньше числа точек исходного временного ряда на величину равную периоду осреднения Lтак как на краях временного ряда отсутствуют точки необходимые для нахождения скользящей средней. ПотеряLточек приводит к тому, что минимальная длительность временного ряда должна быть равной хотя бы трем периодам колебаний.

Схема расчета скользящих средних для периода осреднения равного четырем (ежеквартальные данные за несколько лет) представлена в таблице 1.

Таблица 1.

номер перио-да t	фактические значения ряда	межинтервальные скользящие средние ССt	интервальные (центрированные) скользящие средние ЦССt
1
2
3
4
5
6
7

Дальнейшая схема определения сезонных колебаний различна для аддитивной и мультипликативной моделей, по этому рассмотрим их по отдельности.