14. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом

Замечания к формуле разложения.

1) Если в исходной схеме имеются источники постоянных ЭДС Е, то уравнение может иметь один корень, равный нулю (). Под­становка этого корня в формулу разложения дает постоянную величину, которая соответ­ст­вует установившейся составляющей искомой функции.

2) Если в исходной схеме имеются источники синусоидальных ЭДС , то уравнениебудет иметь два чисто мнимых и сопряжен­ных корняи. Подстановка этих корней в формулу разложения в сумме дает синусоидальную функцию времени, кото­рая соответствует установившейся состав­ляющей искомой функции:

3) Если уравнение имеет два комплексно сопряженных корняи, то подстановка этих корней в фор­мулу раз­ложения в сумме дает синусоидальную функцию с затухающей амплиту­дой:

4) Если уравнение имеет кратные корни (), то фор­мула разложения неприменима. Случай кратных корней может встретиться в практике крайне редко. Чтобы применить формулу разложения в этом случае достаточно несущественно изме­нить параметры одного из элементов схемы.

Пример. Для схемы рис. 138 с заданными параметрами элементов (Е=100 В, R=50 Ом, R1=20 Ом, R2=30 Ом, С=83,5 мкФ) определить ток после коммутации.

1) Определяется независимое начальное условие из расчета схемы рис. 138 в состоя­нии до коммутации:

B

2) Составляется операторная схема цепи после коммутации (рис. 139):

3) Составляется система контурных уравнений для схемы рис. 139 в операторной форме:

4. Производится решение операторных уравнений относительно ис­комой функции I₁(p):

,

где ;;

5) Корни уравнения :

;

6) Коэффициенты для отдельных корнейp_k:

;

7) Окончательное решение для искомой функции времени:

A

15. Анализ переходных процессов в цепи r, l

Исследуем, как изменяется ток в цепи с резисторомR и катушкой L в пере­ходном режиме. В качестве примера рассмотрим переходной процесс при включении цепи R, L к источнику а) постоянной ЭДС =const и б) переменной ЭДС (рис. 140).

Расчет переходного процесса выполним классическим методом.

а) Включение цепи R, L к источнику постоянной ЭДС .

Общий вид решения для тока:

Установившаяся составляющая тока: .

Характеристическое уравнение и его корни:

.

Независимое начальное условие: .

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

где − постоянная времени, численно равная времени, за которое ам­плитуда сво­бодной составляющей затухает в раза. Чем больше , тем медленнее затухает переходной процесс. Теоретически затуха­ние свободной составляющей про­должается до бесконечности. Техническое время переходного процессаопределя­ется из условия, что за это время свободная составляющая уменьшается до 0,01 от ее первоначального значения:

, откуда .

На рис. 141 представлена графическая диаграмма искомой функции

Для приближенного построения графической диаграммы свободной составляю­щей можно воспользоваться таблицей значений этой функции в интервале времени:

t	0	0,5	1,0	1,5	2	3	4
	1	0,61	0,37	0,22	0,14	0,05	0,02

Постоянная времени может быть определена из графической диа­граммы функциикак отрезок времени, по краям которого от­ношение значений функции равнораза (рис. 141).

б) Включение цепи R, L к источнику синусоидальной ЭДС

Общий вид решения для тока:

Характеристическое уравнение и его корни:

Установившаяся составляющая тока:

, откуда следует

,

где ,,.

Независимое начальное условие:

Постоянная интегрирования:

, откуда

Окончательное решение для искомой функции:

Из анализа решения видно, что амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной фазы источника ЭДС. Приэта ам­плитуда имеет макси­мальное значение, при этом переходной процесс протекает с максималь­ной интенсивностью. Приампли­туда свободной составляющей равна нулю, и переходной процесс в цепи вообще отсутствует. На рис. 142 представлена графическая диаграмма иско­мой функции при, .