Решение
Движение каждого заряженного элемента длины стержня dr эквивалентно круговому току, равному
,
(3.12)
где
– частота вращения;
dq – заряд элемента dr.
Величина dq равна
.
(3.13)
Магнитный момент контура с током выражается формулой
,
(3.14)
где S – площадь, охватываемая током I;
–единичный
вектор нормали к площади контура.
При направлении вращения стержня, указанном на рис. 3.3, магнитные моменты dPm каждого элемента стержня направлены вверх, поэтому векторное суммирование величин dPm можно заменить алгебраическим.
На основании формул (3.12)…(3.14) получим
.
(3.15)
После интегрирования (3.15) получим
.
(3.16)
Момент импульса элемента dr, движущегося со скоростью v, равен
,
(3.17)
где dm – масса элемента длины стержня, равная
.
(3.18)
В
силу того, что направления величин
для всех элементов одинаковы и направлены
вверх, окончательно для момента импульса
стержня в целом можно записать:
.
(3.19)
Учитывая,
что
,
получим
.
(3.20)
В
соответствии с формулами (3.16), (3.20)
отношение величин
равно
.
(3.21)
В векторной форме искомое отношение принимает вид
.
(3.22)
Произведем вычисления:
Задача 3.4
Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30 к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Магнитная индукция магнитного поля – 1,3·10-2 Тл. Найти: 1) радиус витка; 2) шаг спирали.
|
Дано:
|
Рис. 3.4 |
|
|
Решение
Разложим
скорость движения электрона на две
составляющие:
– составляющую, направленную
перпендикулярно силовым линиям;
– составляющую, направленную вдоль
силовых линий. Сила Лоренца, действующая
на электрон, в скалярном виде имеет вид
,
(3.23)
где
e – заряд электрона.
Из
(3.23) следует, что сила Лоренца зависит
от составляющей
,
под действием
которой частица движется по окружности.
По 2-му закону Ньютона
(3.24)
,
где
–
соответственно масса и нормальное
ускорение электрона.
Из формулы (3.24) находим радиус:
.
(3.25)
Вторая составляющая скорости направлена вдоль силовых линий магнитного поля и способствует движению электрона в этом же направлении. В результате участия электрона одновременно в двух видах движения – по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и параллельно силовым линиям – траекторией его движения является спираль. Радиус спирали определяется формулой (3.25). Шаг спирали h равен тому расстоянию, на которое сместится электрон вдоль силовой линии за время, равное периоду обращения электрона Т:
(3.26)
т.к.
.
Скорость электрона, влетающего в магнитное поле, связана с ускоряющей разностью потенциалов U соотношением
(3.27)
.
Подставив выражение v в формулы (3.25) и (3.26), найдем
(3.28)
.
Произведем вычисления:
