340-2008

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра «Прикладная математика»

3402008

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к контрольной работе № 1 по математике

для студентов специальностей 150202 «Оборудование и технология сварочного

производства» 210201 «Проектирование и технология

радиоэлектронных средств» 110302 «Электрификация и автоматизация

сельского хозяйства» заочной формы обучения с сокращенной программой

divFdV FndS

V S

Воронеж 2008

УДК 517.2. (07)

Методические указания к контрольным работам № 1 по математике для студентов специальностей 150202 «Оборудование и технология сварочного производства», 210201 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» заочной формы обучения с сокращенной программой / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.Н. Дурова, М.И. Зайцева, В.И.Кузнецова, О.А. Соколова. Воронеж, 2008. 44 с.

Методические указания предназначены для студентовзаочников инженерно-технических специальностей и содержат рекомендации к работе над курсом высшей математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.

Ил. 2. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент д-р техн. наук М.Л. Лапшина Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.

наук, проф. В.Д. Репников Печатается по решению редакционно-издательского

совета Воронежского государственного технического университета

©ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008

2

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА МАТЕМАТИКИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Курс математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения теоретического материала, а также задачники с большим количеством разобранных задач.

Правильная организация процесса обучения является самым важным условием успешной проработки и усвоения учебного материала и, как правило, достаточна для своевременной защиты контрольных работ, а также сдачи зачетов и экзаменов. В связи с вышесказанным настоятельно советуется студентам-заочникам начинать изучение тем с проработки теоретического материала из соответствующих разделов рекомендованных учебников. При изучении теоретического материала по учебнику полезно конспектировать основные определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д.

Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В рекомендованных пособиях имеется большое количество подробно решенных задач, с которыми студентам необходимо ознакомиться при изучении соответствующего материала.

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Хорошим подспорьем для объективной оценки степени освоения учебного материала является перечень вопросов для самопроверки, приведенный на страницах 6-9.

Только после этого можно приступать к выполнению контрольных работ. На данном этапе полезно ознакомиться с примерными вариантами решения задач контрольной работы, приведенными в методических указаниях.

Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:

3

правильном и подробном решении задач в контрольной работе,

умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,

твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.

Если в процессе изучения теоретического материала или

при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.

Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.

4

ПРОГРАММА КУРСА “МАТЕМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-

ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ( ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР )

Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры

1.Определители второго и третьего порядков. Основные свойства [ I, приложение, §§ 1, 3, 4 ], [ 4, ч. I, гл. 1, § 2 ].

2.Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера [ I, приложение, §§ 1, 2, 5], [ 4, ч. 1, гл. 1, §4].

3.Трехмерное пространство. Векторы. Линейные операции над векторами [ 1, гл. 7, §§ 43 - 46, гл. 8, §§ 48 - 52 ],

[ 4, ч. I, гл. 2, §5 ].

4.Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты век-

торов [ 1, гл. 9, §§ 53, 54 ], [ 4, ч. I, гл. 2, §6].

5.Векторное и смешанное произведения векторов. Ос-

новные свойства [ 1, гл. 10, §§ 55 - 58 ], [ 4, ч. I, гл. 2, §§ 7,8].

6.Уравнение плоскости и прямой в пространстве [ 1,

гл.12, §§ 63 - 67 ], [ 4, ч. I, гл. 4, § 12].

7.Уравнение прямой линии на плоскости [ 1, гл. 3, § 11;

гл. 4, §§ 16 - 20, 22 ], [ 4, ч. I, гл. 3, § 1 ].

8.Линии второго порядка. Эллипс, гипербола, пара-

бола [ 1, гл. 5, §§ 24 -26, 30 - 32, 35, 36 ], [4, ч. I, гл. 3, §11].

9.Матрицы, действия над матрицами. Сложение матриц

иумножение на число. Преобразование вектора с помощью матрицы. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным методом [ 2, гл. 3, §§ 12, 13, 16 ], [4, ч. I, гл. 1, §§1,3,4].

10.Собственные векторы и собственные значения матрицы. Квадратичные формы и их преобразования. Преобразование прямоугольных координат при переносе начала координат

иповороте осей. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду [1, гл. 2, § 10, гл. 6, § 41 ].

5

11. Ранг матрицы. Существование решений линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли [ 4, ч. I, гл. 1, § 4 ].

Введение в математический анализ

12.Понятие функции одного действительного переменного. Способы задания функции. Четность, нечетность, периодичность. Основные элементарные функции и их графики [8, т. I, гл. I, §§ 6 - 9].

13.Предел переменной величины и предел функции. Ос-

новные теоремы о пределах. Первый замечательный предел.

Число е [ 8, т. I, гл. 2, §§ 1 - 5, 6 - 8 ].

14.Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций [ 8, т. I, гл. 2, §§ 9, 10 ].

15.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых [ 8, т. I, гл. 2, §§ 4, 11 ].

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

16.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения, частного. Производные основных элементарных функций [ 8, т. I, гл. 3,

§§1 - 8, 10, 12 ].

17.Производная сложной и обратной функций. Производные обратных тригонометрических функций. Таблица про-

изводных [8, т. 1, гл. 3, §§ 9, 13 -15].

18.Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения, частного [ 8, т. I, гл. 3, §§ 20, 21 ].

19.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница [ 8, Т. I, гл. 3, §§ 22, 23].

20.Теоремы Ролля и Лагранжа. Правило Лопиталя [ 8, т. I, гл. 4, §§ 1, 2, 4, 5 ].

6

21. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций ex, sin x , cosx по формуле Тейлора [ 8, т. I, гл. 4, §§ 6, 7 ].

Исследование функций с помощью производных

22 Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции непрерывной на отрезке [ 1, т. I, гл. 5, §§ 1 - 6 ].

23. Исследование функций на выпуклость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций [ 1, т. I, гл. 5, §§ 9 - 14 ].

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.

1.Каждая контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 3 - 4 см для замечаний рецензента.

2.На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, группа, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.

3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.

4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

7

5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.

6.После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и зачтенной, исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1

1.Что называется определителем? Каковы свойства определителей и методы их вычисления ? Что такое минор и алгебраическое дополнение ?

2.Запишите в общем виде систему линейных уравнений. Какая система называется однородной, неоднородной? Напишите формулы Крамера. Когда применимы эти формулы?

3.Дайте определение геометрическим векторам, сложению и вычитанию векторов. Как определяются скалярное, векторное и смешанное произведения векторов? Как эти произведения выражаются через координаты векторов?

4.Напишите следующие уравнения плоскости: общее уравнение, нормальное уравнение, уравнение плоскости, проходящей через данную точку с заданной нормалью, уравнение плоскости в отрезках. Каковы условия параллельности и перпендикулярности плоскостей?

5.Напишите общее уравнение прямой в пространстве, каноническое уравнение, уравнение прямой, проходящей через две точки. Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых? Запишите условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, условие их пересечения.

6.Напишите следующие уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, нормальное уравнение. Как найти угол между прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

8

7.Дайте определение окружности, эллипса, гиперболы, параболы и напишите их канонические уравнения.

8.Начертите полярную систему координат и запишите формулы, связывающие прямоугольные и полярные координаты точки.

9.Дайте определение матрицы. Укажите, как они складываются, умножаются. Дайте определение обратной матрицы. Как найти обратную матрицу? Запишите систему линейных уравнений в матричной форме и объясните матричный метод

еерешения.

10. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции и каковы основные способы задания функции? Что называется графиком функции? Какие функции называются четными, нечетными, периодическими и каковы особенности их графиков?

11. Начертите графики основных элементарных функций.

12. Сформулируйте определение предела функции при стремлении аргумента к конечному пределу и при стремлении аргумента к бесконечности.

13. Как связано понятие предела функции с понятиями ее пределов слева и справа ?

14. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

15. Какая функция называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой?

16. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

17. Что такое первый и второй замечательные пределы ? 18. Сформулируйте определения непрерывности функции

в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции?

19. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

20. Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций и таблицу производных.

9

21. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции и теорему о дифференцировании обратной функции.

22. Что такое логарифмическое дифференцирование?

23 Как находятся производные параметрически заданных функций?

24. Сформулируйте определение дифференциала функции. Каков его геометрический смысл?

25. Сформулируйте теоремы Ролля и Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

26. В чем состоит правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей?

27. Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа в общем случае и для функции ex, sinx, cosx.

28.Каковы признаки возрастания и убывания функции.

29.Покажите, что функция у=2х возрастает, а функция у=sinx - х убывает в любом промежутке.

30.Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы и минимумы функции? Сформулируйте два правила.

31.Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.

32.Чем отличается максимум (минимум) функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего (наименьшего) значения?

33.Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке? Всегда ли они существуют?

34.Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

35.Что называется асимптотой кривой?

36.Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?

37.Каковы основные пункты общей схемы исследования функции и построения ее графика?

10