340-2008
.pdfРЕКОМЕНДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
КВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
Кзадачам № 1: : [ 6 ] №№ 391-394, 405, 446-451.
Кзадаче № 2: [6] №№ 242 - 255, 268-270, 280-284, 299, 300, 307, 333, 341, 343. [ 7 ] №№ 787-794.
Кзадаче № 3 [6] №№ 4-8, 17.25, 71.74, 100, 102, 107, 111,
123.[ 7 ] №№ 272-277, 347-352.
Кзадаче № 4: [ 6 ] №№ 37-39, 141-143, 155-157, 169-171, 187, 189, 193.
Кзадачам № 5: [6] №№ 657-660, 663-675, 679-684, 692-
Кзадачам № 6: [6] №№ 771-801, 863, 885-889, 898-903, 908-912, 955, 956.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Контрольная работа № 1. “Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Введение в анализ. Техника дифференцирования.”
Задача № 1
Решить системы линейных уравнений: а), методом Гаусса, б) методом Крамера.
x1 x2 3x3 x4 x5 2
2x1 x2 x3 3x4 9x5 3
1. а)
x1 2x2 x3 x4 2x5 103x1 x2 4x3 2x4 11x5 13
4x 2 y z 2; б) 5x 3y 2z 0;3x 2 y z 2.
11
2.а)
3.а)
4.а)
5.а)
6.а)
x1 x2 x4 x5 1
x1 2x2 x3 x4 3x5 32x1 x2 3x3 4x4 2x5 4
3x1 x2 4x3 5x4 5x5 5
3x1 x2 3x3 x4 4x5 12x1 2x2 4x3 x4 2x5 132x1 x2 5x3 2x4 8x5 9
x1 x2 x3 x4 2x5 4
x1 x2 x3 x4 x5 67x1 5x2 x3 x4 21x5 4
2x1 x2 2x3 3x4 4x5 13x2 3x3 x4 3x5 14
4x1 3x2 x3 2x4 11x5 23
2x1 x2 3x3 x4 14x5 0x1 x2 x3 x4 6x5 9
x1 2x2 4x3 5x4 21x5 32
x1 x3 x4 4
x1 x2 x3 2x4 7
2x1 x2 2x3 x4 4x5 5
2x1 x2 x3 3x4 2x5 14
x 2 y z 4; б) 3 x 5 y 3z 1;2x 7 y z 8.
5x |
y z 0; |
|
|
б) x y 2z 2; |
|
|
|
2x 4 y 5z 6. |
|
2x y |
z 4; |
б) 3x 4 y 2z 11;3x 2 y 4z 11.
3x y z 4;
б) 2x 5 y 3z 17;x y z 0.
x y z 2;
б) 2x y 6z 1;3x 2 y 8.
12
2x1 x2 x3 x4 6
3x1 x2 x3 x4 x5 6
7. а)
x1 2x2 4x3 3x4 4x5 19x1 3x2 2x3 3x5 15
x1 x2 x3 x4 2x5 1
5x1 x2 x3 x4 8x5 5
8. а)
2x1 3x2 x3 2x4 8x5 33x1 x2 2x3 4x4 8x5 2
x1 2x2 x3 x4 2x5 6
x1 x2 4x3 x4 3x5 13
9. а)
2x1 3x2 5x3 6x4 2x5 133x1 x2 x3 x4 4x5 4
x1 x2 2x3 x4 2x5 13
x1 2x2 x3 x4 2x5 10
10. а)
4x1 3x2 x3 3x4 3x5 142x1 x2 2x3 x4 2x5 13
x1 2x2 5x3 x4 x5 233x1 x2 x3 7x5 1
11. а)
4x1 2x3 x3 6x4 11x5 32
x1 x2 2x3 x4 7x5 11
б)
б)
б)
б)
б)
2x y z 1;x y z 6;3x y z 4.
x 5y z 7;2x y z 0;x 2 y z 2.
x 5 y z 7;2x y z 0;x 2 y z 2.
x 5 y |
z 7; |
|
z 4; |
2x y |
|
3x 2 y 4z 11. |
|
|
|
11 x 3y z 2; |
|
|
5z 0; |
2x 5 y |
|
|
z 2. |
x y |
|
13
12.а)
13.а)
14.а)
15.а)
16.а)
x1 x2 x3 x4 2x5 4
2x1 3x2 6x3 x4 11x5 6x1 x2 x3 2x4 3x5 4
4x1 x2 x3 11x5 3
4x1 2x2 x3 x4 4x5 4x1 x2 x3 2x4 2x5 42x1 x3 3x4 5x5 4
4x2 2x3 x4 15x5 7
x1 x2 2x3 3x5 4
2x1 x2 x3 x4 9x5 8x1 x2 x3 3x4 6x5 14
5x1 4x2 x3 2x4 19x5 17
x1 x2 x3 2x4 x5 13
5x1 x2 3x4 x5 20
3x1 2x2 x3 x4 7x5 7x1 x2 2x3 x4 x5 2
x1 x2 2x3 2x5 72x1 x3 x4 3x5 1
3x1 x2 x3 x4 5x5 62x1 2x2 3x4 2x5 1
б)
б)
б)
б)
б)
7x 5 y 2z 18;
2x y z 3;x y 2z 2.
7x 5 y 2z 18;
2x y z 3;x y 2z 2.
3x y 5z 7;2x 3y 4z 1;5x y 3z 0.
x 2 y z 15;2 x y 3z 9;2x 3y 2z 2.
2x y 2z 1;3x 2 y z 1;2 x 3y 3z 0.
14
17.а)
18.а)
19.а)
20.а)
x1 x2 x3 x4 x5 23x2 2x3 x4 6x5 55x1 x2 x3 2x4 4x5 8
2x1 x2 x3 3x4 9x5 17
2x1 x2 x3 x4 4x5 5x1 x2 x3 2x4 7x5 1
3x1 2x2 x3 x4 6x5 4x1 3x2 2x3 x4 8x5 8
x1 2x2 x4 8x5 7
4x1 x2 3x3 x4 2x5 62x1 x2 x3 2x4 9x5 15
x1 x2 2x3 x5 14
5x1 x2 4x3 x4 10x5 12
3x2 x3 2x4 8x5 4
x1 x2 x3 x4 x5 32x1 x2 x3 2x4 2x5 6
б)
б)
б)
б)
2x y 2z 1;3x 2 y z 1;2x 3y 3z 0.
2x 3y 4z 5;
3x 4 y z 3;4x 5y 2z 3.
2x y 3z 9;x 2 y z 3;3x y z 1.
3x y 2z 4;2 x 3y z 9;
5x y 3z 4.
15
Задача № 2
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти:
1)длину ребра A1A2;
2)угол между ребрами A1A2 и A1A4 ;
3)уравнение ребра A1A4, уравнение плоскости A1A2A3 и угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3;
4)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань
A1A2A3;
5) площадь грани A1A2A3 и объем пирамиды;
|
|
|
|
|
|
|
6) показать, что векторы |
A1 A2 , |
A1 A3 , A1 A4 , образуют базис и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
найти координаты вектора A2 A3 |
в этом базисе. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
A1 |
|
A2 |
|
A3 |
A4 |
варианта |
|
|
|
|
|
|
1 |
(4,7,8) |
|
( 1,3,0) |
(2,4,9) |
(1,8,9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(4,2,10) |
|
(2,3,5) |
(1,2,7) |
(5,3,7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(5,6,8) |
|
(8,6,4) |
(2,1,1) |
(8,10,7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(2, 1,7) |
|
(6,3,1) |
(3,2,8) |
(2, 3,7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
(5,7,7) |
|
(7,2,2) |
(2,3,7) |
(5,3,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
(8,4,1) |
|
(7,7,3) |
(6,5,8) |
(3,5,8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
(4,2,1) |
|
(1,2,7) |
( 1,0,3) |
(4,1,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
(4,6,5) |
|
(1,5,5) |
(6,9,4) |
(7,5,9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
(4,9,5) |
|
(6,6,5) |
(6,9,3) |
(4,6,11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
(4,3,5) |
|
(1,9,7) |
(0,2,0) |
(5,3,10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
(5,3,7) |
|
(2,3,5) |
(4,2,10) |
(1,2,7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
(4,10,9) |
|
(1,8,2) |
(5,2,6) |
(5,7,4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
16
13 |
(2,1,6) |
(1,4,9) |
(2,5,8) |
(5,4,2) |
|
|
|
|
|
14 |
(7,10,2) |
(4,4,10) |
(9,6,9) |
(2,8,4) |
|
|
|
|
|
15 |
(2,1,7) |
(3,3,6) |
(2,3,9) |
(1,2,5) |
|
|
|
|
|
16 |
(3,5,4) |
(4,7,8) |
(5,10,4) |
(8,7,4) |
|
|
|
|
|
17 |
(1,2,5) |
(4,0,6) |
(2,6,5) |
(6,4,8) |
|
|
|
|
|
18 |
(5,3,3) |
( 2,8,2) |
(6,8,9) |
(7,10,3) |
|
|
|
|
|
19 |
(1,0, 1) |
(2,1,3) |
(4, 1,1) |
(0,1,1) |
|
|
|
|
|
20 |
(0,2,7) |
(4,2,5) |
(0,7,1) |
(1,5,0) |
|
|
|
|
|
Задача № 3
. Даны координаты вершин треугольника ABC . Найти:
1)уравнения сторон AB, BC и их угловые коэффициенты;
2)угол B в радианах и градусах с точностью до двух;
3)уравнение высоты CD и ее длину;
4)уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .
Сделать чертеж.
Номер |
|
|
|
варианта |
А |
В |
С |
|
|
|
|
1 |
(-5,9) |
(7,0) |
(5,14) |
|
|
|
|
2 |
(8,3) |
(-4,12) |
(-8,-10) |
|
|
|
|
3 |
(-9,6) |
(3,-3) |
(7,19) |
|
|
|
|
4 |
(-4,9) |
(8,0) |
(6,14) |
|
|
|
|
5 |
(4,3) |
(-8,12) |
(-12,-10) |
|
|
|
|
17
6 |
(-6,6) |
(6,-3) |
(10,19) |
|
|
|
|
7 |
(-1,4) |
(11,-5) |
(15,17) |
|
|
|
|
8 |
(-3,9) |
(9,0) |
(7,14) |
|
|
|
|
9 |
(8,5) |
(-4,14) |
(-8,-8) |
|
|
|
|
10 |
(-9,9) |
(3,0) |
(7,21) |
|
|
|
|
11 |
(-1,5) |
(11,-4) |
(15,18) |
|
|
|
|
12 |
(-1,9) |
(11,0) |
(9,14) |
|
|
|
|
13 |
(7,2) |
(-5,11) |
(-9,-11) |
|
|
|
|
14 |
(-8,6) |
(4,-3) |
(8,19) |
|
|
|
|
15 |
(-1,6) |
(11,-3) |
(15,19) |
|
|
|
|
16 |
(0,4) |
(12,0) |
(10,14) |
|
|
|
|
17 |
(5,3) |
(-7,12) |
(-11,-10) |
|
|
|
|
18 |
(-7,6) |
(5,-3) |
(9,19) |
|
|
|
|
19 |
(-1,7) |
(11,-3) |
(15,20) |
|
|
|
|
20 |
(0,6) |
(12,2) |
(10,16) |
|
|
|
|
Задача № 4
Сделать чертеж и составить уравнение линии:
1) расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(5, 0) относятся как 2:1;
2)расстояние каждой точки которой от точки А(−1, 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х =-4;
3)расстояние каждой точки которой от точки А(2, 0) и
от прямой |
5х+8=0 |
относятся |
как 5:4; |
|
, |
4) расстояние каждой точки которой от точки А(2, 0) и |
|||
от прямой |
2х+5=0 |
относятся |
как 4:5; |
|
18
5) |
каждая точка которой находится вдвое дальше от |
точки |
А(4, 0), чем от точки В(1, 0); |
6) |
расстояние каждой точки которой от точки А(3, 0) |
вдвое меньше расстояния от точки В (26, 0);
7)каждая точка которой равноудалена от точки А(4;2) и от оси Оу;
8)каждая точка которой находится втрое дальше от точки А(3,0), чем от точки В(0,2)
9)расстояние каждой точки которой от точки А(4, 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х = −2;
10)каждая точка которой равноудалена от точки А(2,0) и от прямой х =4;
11)расстояние каждой точки которой от точки А(0,3) втрое больше расстояния ее от точки В (9;0);
12)расстояние каждой точки которой от точки А(3, 0) вдвое меньше расстояния ее от точки В (−6;0);
13)расстояние каждой точки которой от начала координат и от точки А(5, 3) относятся как 3:2;
14)для каждой точки которой сумма квадратов расстоя-
ний до точек А(−3,0) и В(3,0) равна 50;
15)) каждая точка которой отстоит от точки А(−4,0) от втрое дальше, чем от начала координат;
16)для каждой точки которой сумма квадратов расстояний до сторон квадрата с вершинами А(2,2), В(−2,2), С(−2, −2), D(2, −2) есть величина постоянная, равная 24;
17)) для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(−4, 0) к расстоянию до прямой 4х+25=0 равно 0,8;
18)каждая точка которой равноудалена от точки А(−5,3)
иот начала координат;
19)для каждой точки которой сумма квадратов расстоя-
ний до точек А(0; 12 ) и В(0, 12 ) равна 2;
20) каждая точка которой равноудалена от точки А(1,2) и от оси Ох.
19
Задача № 5
Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. |
а) |
|
lim |
|
x3 |
3x 2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 5x3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
в) |
lim |
1 cos6x |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 0 |
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
а) |
|
lim |
|
x4 |
2x2 3x 2 |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x4 |
|
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. а) |
lim |
|
|
2x3 |
3x 1 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 5x3 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
cos x cos |
3 x |
; |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. а) |
lim |
|
|
|
|
x4 |
|
3x 2 |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
x 2x4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
1 cos x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
xtg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. а) |
lim |
|
|
|
7x4 |
|
|
x 4 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x 3x4 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) |
lim |
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
arcsin x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
lim |
|
1 x 3 |
; |
|||||
|
x 8 |
|
|||||||
|
x 8 |
|
|
||||||
|
|
3x 3 |
x 1 |
|
|||||
г) |
lim |
|
|
|
|
; |
|||
|
3x 3 |
||||||||
|
x |
|
|
|
|
||||
б) lim |
|
x2 2x 8 |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|||
x 12 |
4 x |
||||||
x 4 |
|
|
|||||
г) lim 2x 2 ln 2x ln x ;
x
б) |
lim |
|
|
|
x2 |
x 6 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 8 |
4 x |
||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||
г) |
lim 2x 3 3x / x 2 ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim |
|
|
x2 |
x 20 |
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
9 |
1 x |
|
|||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
г) lim 2x 2 ln 2x 5 ln 2x ; |
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
б) lim |
|
2x2 x 21 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 10 |
4 x |
|||||||
|
x 3 |
|
|
||||||
|
3x 3 |
x 1 |
|
|
|
||||
г) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
x 3x 3 |
|
|
|
|
||||
20