340-2008

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

плоскости A1 A2 A3 . Уравнение высоты имеет вид

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

853.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Осуществляя обратный ход от последнего уравнения к первому, получаем решение системы:

x1 1, x2 2,

x3 3,

x4 4.

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса.

x1 x2 3x3 x4
2x2 x3 x4 x5
2x2 x3 x4 x5
x1 x4 2x5
x1 x4 2x5
2x 5x		x	x
1	2	4	5

10,

Решение. Запишем расширенную матрицу системы

1		1	3	1	0
						1
	0	2	1	1	1	10

	1	0	0	1	2	8

	2	5	0	1	1	7

Умножим первую строку на 1 и прибавим ее к третьей. Умножим первую строку на 2 и прибавим ее к четвертой. Получим

1			3
		1		1	0	1
	0	2	1	1	1	10
							.
	0	1	3	2	2	7


	0	7	6	1	1	9

Поменяем местами вторую и третью строки. Получим

1		1	3	1	0
						1
	0	1	3	2	2	7

	0	2	1	1	1	10


	0	7	6	1	1	9

Умножив полученную вторую строку на 2, прибавим ее к третьей строке; умножим вторую строку на −7 и прибавим к четвертой

1		1	3	1	0
						1
	0	1	3	2	2	7

	0	0	7	3	3	24


	0	0	15	13	13	58

Умножим третью строку на 15, а четвертую на 7. Затем прибавим третью строку к четвертой

1		1	3	1	0
							1
	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45		360


	0	0	105	91	91		406

1		1	3	1	0		1

	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45	360


	0	0	0	46	46	46

Таким образом, матрица приведена к «виду трапеции». Система имеет бесчисленное множество решений.

Запишем систему в явном виде

	x1 x2 3x3 x4 1

x2 3x3 2x4 2x5 7
	7x3 3x4 3x5 24
	7x3 3x4 3x5 24
	46x4 46x5 46
	46x4 46x5 46

Пусть x5 t . Осуществляя обратный ход от последнего уравнения к первому, получаем решение системы:

x4 t 1; x3 3;

x2 4;

x1 7 t.

Пример 4.

Даны	координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 :
A1 (2, 1,1),	A2 (5,5,4), A3 (3,2, 1), A4 (4,1,3). Найти:

1)длину ребра A1 A2 ;

2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;

3)уравнение ребра A1 A4 , уравнение плоскости A1 A2 A3 и

угол между ребром A1 A4										и плоскостью A1 A2 A3 ;
		4)			уравнение высоты ,							опущенной из вершины										A4	на
грань A1 A2 A3							и ее длину;
		5) площадь грани A1 A2 A3										и объем пирамиды;

		6) показать, что векторы										A1 A2 , A1 A3 , A1 A4								образуют ба-

зис и найти координаты вектора A2 A3															в этом базисе.
		Решение. Найдем координаты векторов, которые совпа-
дают с выходящими из вершины															A1 ребрами						пирамиды:
		(3,6,3),						(1,3, 2),						(2,2,2).
A1 A2		(3,6,3),					A1 A3	(1,3, 2),				A1 A4		(2,2,2).
		1) Длина ребра A1 A2 совпадает с расстоянием между точ-
ками A1				и A2 :

							x )2			y )2				z )2
			(x					( y				(z					9 36 9
	A A		(x			2		( y	2			(z	2				9 36 9					54.
	1	2				2	1		2	1			2		1

		2)		Определим угол между векторами,												используя скаляр-

ное																					A1 A4	,	то
ное																						,	то

																					A1 A4
					3 2 6 2 3 2

cos											2 2		и arccos					2	2		.
cos													и arccos								.
					9 36 9 4 4 4							3							3

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет

вид

x x1

y y1

z z1

Подставляя в уравнение коор-

динаты точек A1 и A4 , получим

x 2

y 1

z 1

Уравнение плоскости,

проходящей через три заданные

x x1

y y1

z z1

точки,

имеет вид

x2 x1

y2 y1

z2 z1

Подставляя в

x3 x1

y3 y1

z3 z1

уравнение

координаты

точек

A1 ,

A3 ,

получим

x 2

y 1

z 1

0 21x 9 y 3z 0. Синус

угла между

прямой

x x1

y y1

z z1

плоскостью

Ax By Cz D 0

определяется

по

формуле

sin

Al Bm Cn

Используя эту

формулу,

A2 B2 C 2

l 2 m2 n2

находим sin

21 2 9 2 3 2

441

81 9

4 4

177

arcsin

177

4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, про-

ходящей через точку

перпендикулярно плоскости A1 A2 A3 ,

задаваемой

уравнением

Ax By Cz D 0 .

качестве

направляющего вектора прямой может быть взят вектор нор-

Для нахождения

длины

высоты

можно использовать

формулу V

. Объем V и площадь S

A D

бу-

A A A

A1 A2 A3

дут найдены в п. 5). Поэтому

A D

S A A A

531

5) Площадь треугольника равна половине площади па-

раллелограмма,

построенного

на

векторах

A1 A2

A1 A3 .

Найдем вначале векторное произведение этих векторов. Имеем


							i	j	k

A1 A2			A1 A3				3	6	3	21 i		9 j	3 k .	Следовательно,
							1	3	2



					1						531
S					1	A A		A A			531	(кв. ед.). Объем пирамиды ра-
S	A A A					A A		A A				(кв. ед.). Объем пирамиды ра-
	A A A			2		1 2		1	3		2
	1	2	3	2							2
	1	2	3

вен 1 части объема параллелепипеда, построенного на данных

векторах, поэтому вначале находим смешанное произведение этих векторов. Имеем

						3	6		3

	A1 A2	A1 A3 A1 A4				1	3		2	18.
						2	2		2
	Поэтому		V	1	18			3 .
				1

			6
			6

	6) Для		того,		чтобы				векторы a A1 A2 ,		b A1 A3 ,

с A1 A4		образовывали базис необходимо и достаточно, что-

бы их смешанное произведение было отлично от нуля. В п. 5) мы уже вычислили смешанное произведение

a b с = 18 0.

Таким образом эти векторы образуют базис. Найдем коорди-

наты вектора d A2 A3 ( 2, 3, 5) в базисе a, b , с . Обозначим эти координаты x, y, z . Тогда имеем равенство d = xa +

y b + z с , которое в координатной форме примет вид системы уравнений относительно неизвестных x, y, z

3x y 2z 2

6x 3y 2z 3.3x 2 y 2z 5

Решим систему уравнений методом Крамера. Определитель этой системы = 18. Вспомогательные определители:

	2	1	2		3	2	2
	2	1	2		3	2	2
x	3	3	2	18 , y	6	3	2	18 ,
	5	2	2		3	5	2

		1	2
	3	1	2
z	6	3	3	0 .
	3	2	5

Решение системы уравнений получим по формулам Кра-

мера

1, y

Итак, вектор

d в базисе a ,

b , с

имеет координаты

( 1,1,0).

Пример 5. Даны координаты вершин треугольника ABC :

A 2,4 , B 2,1 , C 3, 1 . Найти:

1) уравнения сторон AB, BC и их угловые коэффициен-

ты;

2)угол B в радианах или градусах с точностью до двух

знаков;

3)уравнение высоты CD и ее длину;

4)уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

Сделать чертеж.

Решение.

Найдем

координаты

векторов

BA (2 2,4 1) (4,3) и BC

(3 2, 1 1) (5, 2) .

1) Уравнение стороны

AB получим как уравнение пря-

мой, проходящей через две заданные точки

x xA

y y A

xB xA

yB y A

Подставляя в

уравнение

координаты точек

A и

В,

имеем

x 2

y 4

, 3x 4y 10 0 или

. Угловой ко-

2 2

1 4

эффициент прямой

AB равен k

. Аналогичным образом

находим

уравнение

стороны

BC :

x 3

y 1

2 3

1 1

2x 5y 1 0

или y

. Угловой коэффициент прямой

BC равен k

2) Определим

угол

между

векторами BA (4,3) и

BC (5, 2) .,

используя

скалярное

произведение.

Так как

						4 5 3	2
cos B	BA BC		,	то cos		4 5 3	2			14	0,519
cos B			,	то cos							0,519
					16 9			25 4	5	29
	BA	BC			16 9			25 4	5	29
	BA	BC

или arccos(0,519) 1,03 рад.

3) Уравнение высоты CD находится как уравнение прямой, проходящей через точку C 3, 1 перпендикулярно векто-

				(4,3) . Имеем				4 x 3 3 y 1 0 или															4x 3y 9 0 .
ру BA				(4,3) . Имеем				4 x 3 3 y 1 0 или															4x 3y 9 0 .
Длина				высоты CD				вычисляется										как расстояние									от	точки
C 3, 1 до прямой AB : d												3 3					4			1 10					23		.

																	9 16
																	9 16						5
		4) Для нахождения уравнения медианы AE находим ко-
ординаты середины отрезка BC :																		x				xB xC		2 3					1	,
ординаты середины отрезка BC :																		x	E					2 3						,
																			E	2						2		2
																				2						2		2
y			yB yC			1 1	0 .		Уравнение медианы														AE			получается
y	E						0 .		Уравнение медианы														AE			получается
	E			2	2
				2	2
как		уравнение прямой линии, проходящей через																									две	точки
A 2,4				1						x 2					y 4						или 8x 3y 4 0 .
				и E	,0 . Имеем
				и E	,0 . Имеем					1						4
				2						1	2				0	4
									2		2
		Координаты точки K пересечения прямых AE и CD
находятся из системы уравнений этих прямых
										8x 3y 4 0,
																9 0.
										4x 3y						9 0.
		Вычисления дают x											13	,	y						14	.
		Вычисления дают x							K					,	y	K						.
									K		12					K				9
											12									9

y		A(2,4)
		A(2,4)
	D
		K (	13	,	14	)
		K (		,		)
		12		9
B(-2,1)				F
O E (	1					x
	1	,0)
	2	,0)
	2

C(3,-1)

Рис. 1

Пример 5 Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от прямой х = 2 и от точки А(4,0). Сделать чертеж.

Решение. Пусть точка М( х,у ) принадлежит искомой линии. Расстояние между точками M1 (x1, ó1 ) и M2 (x2 , ó2 ) вычисляется по формуле

M1M2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .

По условию задачи

(x 4)2

Расстояние от

точки M0 (x0 , ó0 ) до прямой, заданной

уравнением Ax By C 0 , вычисляется по формуле

Ax0 By0 C

. Уравнение прямой х – 2 =0. Следова-

A2 B2

тельно d

x 2

. По условию задачи d=

x 2 (x 4)2 y2 .

Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подоб-

ные, получим 4x y2 12 или x 14 y2 3. Следовательно,

искомая линия является параболой.

0	3	х
0

Рис. 2

Пример 6. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопи-

таля:

5x4 7x3 2x2 3x 3

а) lim

; б)

lim

x 2 1 1

;

x4 2x3 x 2

x 0

x sin 4x

7x 3

x 3

в) lim

;

г)

lim

cos 3x

7x 1

x 0

Решение. а) Знаменатель и числитель дроби стремятся к

бесконечности при x .

Имеем

неопределенность вида

. Разделив числитель и знаменатель на x в наибольшей

степени, т.е. на x4, получим

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.2015103.42 Кб273 лаба.doc
#
26.03.20165.84 Mб1443 часть.doc
#
31.05.2015416.26 Кб473. Трехфазные цепи.doc
#
26.03.20161.36 Mб15326-2014 ДГЦУиМП.pdf
#
31.05.20151.21 Mб15337_2006 Волновая оптика.doc
#
31.05.2015853.18 Кб9340-2008.pdf
#
31.05.201535.33 Кб6234and35.doc
#
26.03.2016351.74 Кб29354-2014-Metodichka_dlya_zaochnikov_sokraschennaya.doc
#
31.05.20155.23 Mб159389-2010 Контрольные задания.doc
#
26.03.2016844.53 Кб133_Documentation.pdf
#
31.05.20153.37 Mб1164 Глава.doc

1		1	3	1	0
							1
	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45		360


	0	0	105	91	91		406

1		1	3	1	0		1

	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45	360


	0	0	0	46	46	46

1		1	3	1	0
							1
	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45		360


	0	0	105	91	91		406

1		1	3	1	0		1

	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45	360


	0	0	0	46	46	46

1		1	3	1	0
							1
	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45		360


	0	0	105	91	91		406

1		1	3	1	0		1

	0	1	3	2	2		7

	0	0	105	45	45	360


	0	0	0	46	46	46