4. Ламинарное течение жидкости
4.1. Распределение скоростей при ламинарном течении
4.2. Расход при ламинарном режиме в круглой трубе.
Формула
Пуазейля. Коэффициент Кориолиса
4.3. Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха
4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей
и потери по длине
4.5. Начальный участок ламинарного потока
4.6. Потери на трение при ламинарном течении в каналах
некруглой формы
4.7. Ламинарное течение в зазорах
4.1. Распределение скоростей при ламинарном течении
Рассмотрим установившийся ламинарный поток в горизонтальной цилиндрической трубе на достаточном удалении от входа в неё.
Труба выбирается горизонтальной с целью исключения действия силы тяжести. При этом вывод упрощается, но результаты его справедливы для трубы, имеющей любой наклон.
Под достаточным удалением от входа понимается расстояние, превышающее длину начального участка, в пределах которого происходит формирование профиля скоростей. Таким образом, рассматривается установившийся равномерный поток, поскольку профиль скоростей по всей длине потока предполагается стабилизированным.
Поставим перед собой две задачи:
1) найти закон распределения местных скоростей в живом сечении потока;
2) определить величину гидравлических потерь на трение.
Решение этой задачи предполагает ответ на три вопроса:
1)
Найти зависимость местной скорости от
текущего радиуса точки -
;
2)
Определить отношение максимальной
скорости к средней по сечению -
.
3)
Установить величину коэффициента,
учитывающего неравномерность распределения
местных скоростей -
.
Ламинарное
течение является строго упорядоченным,
слоистым течением без перемешивания
жидкости. Теория ламинарного течения
жидкости основывается на законе трения
Ньютона
.
Это трение между слоями движущейся
жидкости является единственным источником
потерь энергии в данном случае.
Рассмотрим
установившееся ламинарное течение
жидкости в прямой круглой цилиндрической
трубе с диаметром
(рис. 4.1).
Рис. 4.1. К выводу закона распределения скоростей
и определению потерь при равномерном ламинарном течении
В
потоке жидкости выделим цилиндрический
объём длиной
и радиусом
,
ограниченный с торцов двумя живыми
сечениями потока 1-1 и 2-2.
Уравнение Бернулли для выбранных сечений примет вид
,
где
- потери напора на трение по длине.
Отбросим остальную жидкость, и заменим её действие на выделенный цилиндрический объём соответствующими напряжениями. Спроектируем все внешние по отношению к этому объёму силы на направление потока. Такими внешними силами являются:
-
силы давления;
-
и силы сопротивления.
При равномерном течении жидкости сумма этих проекций должна быть равна нулю, т.к. ускорение при равномерном движении равняется нулю:
, (4.1)
где
- давление соответственно в сечениях
1-1 и 2-2;
-
касательное напряжение на боковой
поверхности.
Откуда
касательное напряжение
равно
, (4.2)
где
- потери давления на трение.
Из формулы (4.14) следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону (рис. 4.3) в функции радиуса и не зависят от режима движения жидкости.
При
,
при 
.
Выразим касательное напряжение по закону Ньютона
. (4.3)
Знак
минус обусловлен тем, что направление
отсчёта
(от оси к стенке вниз) противоположно
направлению отсчёта
(от стенки вверх).
Подставим
значение
в уравнение (4.2)
,
Откуда
.
После интегрирования, получим
.
Постоянную
интегрирования С найдём при
,
. (4.4)
Тогда
скорость по окружности радиусом
. (4.5)
Учитывая,
что
при
,
получим
, (4.6)
т.е. максимальная скорость совпадает с постоянной интегрирования (4.4).
Подставляем этот результат в формулу (4.5)
. (4.7).
Формулы (4.5) и (4.7) выражают закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении, известного под названием закона Стокса.
Анализ этих выражений позволяет сделать вывод, что эпюра скоростей в живом сечении стабилизированного ламинарного потока (в круглой трубе) представляет собой параболоид вращения, а в проекции на плоскость – параболу второй степени (рис. 4.1).