3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости

3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли.

Трубка Пито

3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Рассмотрим частный случай установившегося движения жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Проекции единичных массовых сил на оси координат будут равны:

, ,.

Подставив эти значения в уравнение (3.16), после преобразования получим

.

Проведём интегрирование этого уравнения, наложив на него третье ограничение - будем считать, что жидкость несжимаема, т.е. .

, (3.17)

или, подставив ,

, (3.18)

где - гидродинамический напор.

Уравнение в формах (3.17) и (3.18) обычно называют уравнением Бернулли, отдавая дань заслугам Даниила Бернулли, который первым установил эту закономерность и обосновал её в капитальном труде «Гидродинамика». Как известно, эту монографию, вышедшую в 1738 году, он посвятил Петербургской Академии наук.

Это уравнение показывает, что приращение трёх членов при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока равно нулю, т.е. есть величина постоянная.

При установившемся течении траектория жидкой частицы совпадает с линией тока. Поэтому полученное уравнение справедливо для частицы идеальной жидкости, движущейся вдоль линии тока. Учитывая малость сечения струйки, можно считать его справедливым и для элементарной струйки, осевая линия которой совпадает с линией тока.

3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли. Трубка Пито

В гидравлике уравнение Бернулли чаще всего используется в форме (3.18)

.

Все члены этого уравнения имеют линейную размерность - [м, см]. Подобно тому, как первый член этого уравнения представляет собой некоторую высоту можно и остальные слагаемые представить как высоты. Не следует думать, что речь идёт о каких-то воображаемых высотах. Все эти высоты можно воспроизвести реально. Выделим элементарную струйку, возвышающуюся над горизонтальной плоскостью (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

(схема трубки полного давления - Пито)

Каждая из этих высот получила определённое название:

- геометрическая или нивелирная высота, т.е. высота центра тяжести поперечного сечения струйки, измеренная относительно некоторой произвольной плоскости сравнения ;

- пьезометрическая высота, т.е. высота столба жидкости в трубке пьезометра 1;

- высота скоростного напора, т.е. дополнительная высота, на которую жидкость поднялась бы в пьезометре при полном торможении потока в данной точке А;

- высота полного гидродинамического напора, т.е. сумма указанных трёх высот.

Высота столба жидкости в пьезометре, измеренная относительно точки А, равна пьезометрической высоте в этой точке потока.

Во второй же трубке жидкость поднимется на высоту, поскольку скорость в точкеА упала до нуля и удельная кинетическая энергия полностью перешла в энергию давления.

Разность высот в этих двух трубках, таким образом, равна удельной кинетической энергии, или то же самое, высоте скоростного напора .

Полный гидродинамический напор равен сумме трёх указанных высот.

Закон, выражаемый уравнением Бернулли, может быть наглядно представлен для элементарной струйки в виде диаграммы (рис. 3.11).

Отнесём струйку к системе координат и напишем уравнение Бернулли для трёх произвольных сечений струйки

.

Рис. 3.11. Линии полных напоров Н-Н и пьезометрических

высот П-П вдоль струйки идеальной жидкости

Выбрав произвольно горизонтальную плоскость сравнения отложим от неё геометрическую высотупоперечного сечения 1-1 струйки. Затем надстроим в том же масштабе последовательно пьезометрическую высотуи высоту скоростного напора. Сумма этих высот равна высотеполного гидродинамического напора, которая по всей длине струйки идеальной жидкости остаётся одинаковой. На высотерасположена горизонтальная линия, которую принято называть линией полного гидродинамического напора или сокращённо напорной линией.

Теперь в любом другом произвольном сечении струйки (например, в сечении 2-2) можно не зная даже величины давления в этом сечении, построить все три высоты, входящие в уравнение Бернулли. Удобнее всего построение начать с высоты скоростного напора, величина которой может быть легко найдена из геометрии струйки с помощью уравнения расхода ,. Полученную таким образом высотуотложим вниз от плоскости полного напора. Дополнительный вертикальный отрезок до центра тяжести сечения струйки и будет представлять искомую пьезометрическую высоту, а вертикальный отрезок до центра тяжести сечения до плоскости сравнения- геометрическую высоту.

Соединяя плавными кривыми вершины всех трёх высот, получаем характерные элементы «диаграммы Бернулли»:

- линию геометрических высот (осевую линию струйки);

- пьезометрическую линию (геометрическое место вершин пьезометрических высот);

- напорную линию (геометрическое место вершин высот полного гидродинамического напора).

Итак, рисунок 3.11 даёт геометрическое истолкование уравнения Бернулли:

1) При установившемся движении идеальной жидкости сумма трёх высот есть величина постоянная, и называется полным напором;

2) Если сечение расширяется и, следовательно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростной напор, но возрастает сумма .

Закономерности, найденные для струйки, справедливы и для одномерных потоков конечного сечения.