Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах:

и

.

Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.

Алгебраическое сложениекомплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме, при этом суммируются отдельно действительные части комплексных величин, отдельно - мнимые:

Умножение действительного числаана комплексную величину можно выполнять, как в показательной, так и в алгебраической формах записи:

или

.

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи, при этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

Перемножение комплексных чисел также можно выполнять и при их записи в алгебраической форме. При этом необходимо помнить, что мнимое число j=, а:

Делениекомплексных величин удобно выполнять в показательной форме записи. Для получения модуля новой комплексной величины модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Также деление можно выполнять и при записи в алгебраической форме. При этом необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное знаменателю

Возведение в степеньnвыполняется в показательной форме, для этого модуль комплексного числа возводят в соответствующую степень, а показатель просто умножают наn:

.

Извлечение корняn-ой степени равносильно возведению в степень 1/n:

.

Линейные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока

Резистивный элемент.Резистивный элемент как элемент схемы соответствует элементу цепи – резистору с сопротивлениемR, если последний идеализирован, то есть этот элемент учитывает необратимые потери электрической энергии и пренебрегает энергиями электрического и магнитного полей.

При синусоидальном токе, протекающем по резистивному элементу i(t)=I_msin(ωt+ ψ_i), напряжение на его зажимах и ток связаны законом Ома:

u_R (t) = R i(t)= R I_m sin(ωt + ψ_i) = U_Rm sin(ωt + ψ_u).

Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:

U_Rm=RI_m,U_R=RI.

Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. На рис. 2.6, а представлены их временные диаграммы. При построении временных диаграмм начальная фаза тока принята положительной, ψ_i> 0.

Если синусоидальную функцию времени i(t)=I_msin(ωt+ψ_i) заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

где ,- комплексные амплитуды.

Или для действующих значений комплексных величин

.

Мгновенная мощность резистивного элемента

p(t) = u_R·i = U_Rm sin(ωt + ψ_u)·I_m sin(ωt + ψ_i) =

= U_Rm I_m sin²(ωt + ψ_i)= U_Rm I_m =

=.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Временная диаграмма мгновенной мощности представлена на рис. 3.5, а. Из графика хорошо видно, что вся энергия, поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается генератору.

Рис. 2.6

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 2.6, б.

Индуктивный элемент.Идеальный индуктивный элемент с индуктивностьюLучитывает энергию магнитного поляи явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями электромагнитной энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i(t)=I_msin(ωt+ ψ_i) будет определяться:

где - индуктивное реактивное сопротивление синусоидальному току;

- амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

- начальная фаза напряжения, напряжение на индуктивном элементе опережает ток в нем на угол π/2.

При переходе к действующим значениям имеем

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений

здесь - индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи.

На рис. 2.7, а представлена временная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента. На рис. 2.7, б построена векторная диаграмма для действующих комплексных значений тока и напряжения.

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Мгновенная мощность индуктивного элемента может быть определена:

Как видно из полученного выражения, мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза большей, чем частота тока. График мгновенной мощности для индуктивного элемента представлен на рис. 3.6, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те промежутки времени, когда значение мгновенного тока увеличивается, мощность имеет положительное значение, энергия передается от генератора к индуктивному элементу и накапливается в нем. Когда же мгновенный ток уменьшается, мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращается от индуктивного элемента к генератору.

Для того чтобы количественно охарактеризовать обменные процессы магнитной энергией между источником и индуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактивной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Единицей измерения реактивной мощности является [Вар] - вольт-ампер реактивный

а) б)

Рис.2.7

Емкостный элемент. Идеальный емкостный элемент схемы с емкостью С учитывает только энергию электрического поля, пренебрегая при этом необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

Ток ветви с емкостью определяется:

или

В приведенных выражениях:

-амплитудное значение напряжения на емкости;

- реактивное емкостное сопротивление синусоидальному току;

ψ_u=(ψ_i - π/2) – начальная фаза напряжения, напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на угол π/2.

Для действующих значений:

В комплексной форме записи:

здесь - реактивное емкостное сопротивление в комплексной форме записи.

На рис. 2.8, а и б представлены временная и векторная диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет определяться выражением:

Временная диаграмма мгновенной мощности построена на рис. 2.8, а. Из графика мгновенной мощности следует, что среднее значение мощности за период также, как и у индуктивного элемента, равна нулю. В те промежутки времени, когда напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденсатор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к элементу (мощность положительна). В те промежутки времени, когда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает генератору накопленную энергию (мощность отрицательна).

а) б)

Рис. 2.8

Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.7 и 2.8), в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. При расчете суммарной реактивной мощности значение индуктивной реактивной мощности берется положительным, а емкостной реактивной мощности - отрицательным.