2. Арифметические основы построения эвм
2.1. Представление информации в эвм
Под системой счисления понимают способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. В ЭВМ используются только позиционные системы счисления с различными основаниями.
Количество S различных цифр, употребляющихся в позиционной системе счисления, называется ее основанием. В общем случае, любое число в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома от основания S.
Для краткости число принято изображать в виде последовательности цифр.
Позиции цифры, отсчитанные от запятой (точки), отделяющей целую часть от дробной, называются разрядами.
В ЭВМ применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
В двоичной системе счисления основание S = 2, т.е. используются всего два символа: 0 и 1.
В общем виде двоичное число выглядит следующим образом:
,
где i = 0,1.
Каждая позиция, занятая двоичной цифрой, называется бит. Наименьшим значащим битом (МЗР) называют самый младший двоичный разряд, а самым старшим двоичным разрядом - наибольший значащий бит (СЗР).
Для преобразования двоичных чисел в десятичные необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержатся единицы.
11010101,011=27+26+24+22+20+2-2+2-3= 213,375
Для преобразования целого десятичного числа в двоичное необходимо разделить его на основание новой системы счисления (S=2). Полученное частное снова делится на основание новой системы счисления, до тех пор, пока частное, полученное в результате очередного деления, не будет меньше основания новой системы счисления. Последнее частное (являющееся старшим значащим разрядом) и все полученные остатки от деления составляют число в новой системе счисления.
Для перевода дробных чисел (или дробных частей вещественных чисел) необходимо последовательно умножать дробную часть на основание системы счисления. Если результат умножения меньше единицы, то соответствующему разряду присваивают значение 0, Если - больше единицы, то присваивают значение 1. Процедура умножения повторяется до тех пор, пока либо результат умножения не будет точно равен 1, либо не будет достигнута требуемая точность.
0.34375(10) = 0.01011(2)
Двоично-десятичная система счисления имеет основание S=10, но каждая цифра изображается четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Данная система счисления используется в ЭВМ при вводе и выводе информации. Перевод чисел из десятичной системы в двоично-десятичную заключается в замене каждой цифры двоичной тетрадой.
Для обратного перевода необходимо двоично-десятичное число разбить на тетрады от точки влево (для целой части) и вправо (для дробной), дописать необходимое число незначащих нулей, а затем каждую тетраду записать в виде десятичной цифры.
10010.010101(2-10) = 12,54(10)
В восьмеричной системе основание S=8. В общем виде восьмеричное число выглядит следующим образом:
,
где
Восьмеричная система счисления используется программистами (например, в текстах программ для более краткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов). Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число влево (для целой части) и вправо (для дробной) от точки (запятой) на группы по три разряда (триады) и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются необходимым количеством незначащих нулей.
1011.0101(2)= 13,24
Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему осуществляется путем представления каждой цифры восьмеричного числа трехразрядным двоичным числом (триадой).
Шестнадцатеричная система счисления имеет основание S=16. В общем виде шестнадцатеричное число выглядит следующим образом:
где
Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо разбить это число влево и вправо от точки на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.
10101011111101(2) = 2AED(16)
Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой.
Для представления чисел со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды. Наиболее распространенным и удобным является формирование кодов таким образом, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел.