11.1. Пример решения задачи №7
Исходные данные:
54
МПа;
-16 МПа;
27 МПа;
-18
МПа;
-36 МПа;
36 МПа.
Решение
Н
Рис
7.1
В соответствии с законном парности касательных напряжений
,
,
.
Напряженное состояние в точке математически описывается тензором напряжений
.
Главные напряжения определяются из характеристического уравнения
,
где
- главное напряжение;
;
;
-
инварианты тензора напряжений.
В данном случае
=54-16+27=
65 МПа;
=
=54*(-16)+(-16)*27+ 27*54 - 182-362-362 = -2754 (МПа)2;
=
-34668
(МПа)3.
Характеристическое уравнение принимает вид
-
65
-2754
+34668= 0. (7.1)
Для решения уравнения (7.1) используем метод Кардано, для чего используем замену переменной
.
После
подстановки
в характеристическое уравнение это
уравнение принимает вид
, (7.2)
где
-2754 -
652=
-4162.333;
-
653
+
65*(-2754)
+34668= -45344.593.
Поскольку дискриминант уравнения (7.2)
-2.156*109
0,
все корни приведенного уравнения действительные.
Корни уравнения (7.2) определяются по формулам
;
;
,
где
= 0.4387.
Тогда
63.979
;
21.326
и
=
0.932;
-0.781;
=
-0.151.
В итоге получаем
69.396
МПа;
-58.161
МПа;
-11.235
МПа.
Главные напряжения равны
69.396
+
65=
91.062 МПа;
-58.161
+
65=
10.432 МПа;
-11.235
+
65=
-36.494 МПа.
Для проверки правильности определения главных напряжений определим величины инвариантов тензора напряжений через главные напряжения
91.062+10.432
+ -36.494= 64.9998;
91.062*10.432
+
+ 10.432*(-36.494)+(-36.494)* 91.062= -2754.0059;
91.062*10.432*(-36.494)=
-34667.0559.
Как видно, эти результаты вычислений отличаются от ранее полученных результатов на не более чем 1%.
Для
определения направляющих косинусов
,
,
нормалей к главным площадкам решаем
систему уравнений
(7.3)
где
- главное напряжение на соответствующей
площадке.
Положение
первой главной площадки (
,
,
),
на которой действует главное напряжение
,
определяем из системы уравнений
,
или
,
или
Исключаем
из первых двух уравнений
и получаем
.
Тогда
,
.
Из третьего уравнения получаем
Тогда
0.7354;
-0.4403*0.7354= -0.3238;
0.8094*0.7354= 0.7952.
Положение
второй главной площадки (
,
,
),
на которой действует главное напряжение
,
определяем из системы уравнений
,
или
,
или
Исключаем
из первых двух уравнений
и получаем
.
Тогда
,
.
Из третьего уравнения получаем
Тогда
0.6770;
0.5755*0.6770= 0.3896;
-0.9225*0.6770= -0.6245.
Положение
третьей главной площадки (
,
,
),
на которой действует главное напряжение
,
определяем из системы уравнений
,
или
,
или
Исключаем
из первых двух уравнений
и получаем
.
Тогда
,
.
Из третьего уравнения получаем
Тогда
0.0297;
-29.065*0.0297=
-0.8622;
-17.046*0.0297=
-0.5057.
Поскольку главные площадки взаимно ортогональны, скалярные произведения векторов единичных нормалей к площадкам должны быть равны нулю. Поэтому должны выполняться три условия ортогональности
(7.4)
Это условие полезно использовать для проверки правильности полученных результатов.
Подставляя сюда результаты расчетов, можно убедиться, что соотношения (7.4) удовлетворяются с точностью до погрешностей вычислений.
библиографический список
1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов.–8-е изд., стереотип. –М.: Наука, 1979. –560с. ил.
2. Расчет на прочность и жесткость стержневых систем. Методические указания по курсу прикладной механики для студентов специальностей 100700, 180100,180400, 200500, 210300, 220300 всех форм обучения/ Воронеж., гос. техн. ун – т; Сост. Д.В. Хван, В.А. Рябцев, В.Н. Потапов. Воронеж, 1999. 31 c. (№ 118-2000).
ПРИЛОЖЕНИЕ
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра теоретической и прикладной механики
Курсовая работа
по дисциплине «Прикладная механика»
Расчеты на прочность и жесткость
Вариант 077
Выполнил студент гр. СП-121 Иванов Ю.И.
Принял доцент Петров В.A.
Воронеж 2014
Содержание
1. Требования к оформлению курсовой работы 1
2. Цель курсовой работы 5
3. Выбор вариантов исходных данных
для задач 1 – 6 5
4. Задача № 1. Растяжение и сжатие ступенчатого стержня 5
5. Задача № 2 Расчет статически неопределимой стержневой системы 7
6 Задачи №3 - 5. Расчет на прочность статически
определимых балок и рам 11
7. Задача № 3 Подбор сечения для консольной балки 13
8. Задача № 4 Подбор сечения для двуопорной балки 14
9. Задача № 5 Построение эпюры нормальных и поперечных сил для рамы 14
10. Задача № 6. Расчет на прочность, жесткость и выносливость вала при сложном деформировании 15
10.1. Порядок расчета вала 19
10.2. Расчет вала на прочность 20
10.3. Расчет вала на жесткость 20
11. Задача № 7. Определение главных напряжений и главных площадок 22
11.1. Пример решения задачи № 7 22
Библиографический список 21
Приложение: Пример оформления
титульного листа РГЗ 22