Общая характеристика выборочного метода

Порядок вычисления предельной ошибки выборки для доли признака ничем не отличается от вычисления предельной ошибки для средней арифметической.

Определение объема выборки. Вопрос об определении объема выборки является в выборочном методе исходным, ибо всякая выборка имеет заданный объем.

Заметим сразу, что зачастую исследователь лишен возможности решать вопрос об объеме выборки либо в силу ограниченности имеющихся в его распоряжении данных (естественные выборки), либо в силу тех или иных технических причин.

В тех же случаях, когда постановка вопроса об определении объема выборки возможна, его решение производится в следующем порядке.

Прежде всего производится пробная выборка произвольного объема. При этом можно пойти по одному из двух различных путей. Во-первых, можно попытаться сразу угадать нужный объем выборки, основываясь на каких-либо соображениях разумности объема выборки (например, можно попробовать 10%- или 20%-ную выборку). В случае если объем этой выборки окажется недостаточным, можно будет впоследствии дополнить эту выборку до нужного объема.

При втором подходе пробная выборка берется совсем небольшой (как правило, 1% и менее от объема генеральной совокупности). При этом практически следует руководствоваться некоторым компромиссом между требованием достаточной репрезентативности выборки и желанием уменьшить объем предварительных расчетов. На основе этой пробной выборки по приведенной ниже формуле (5.12) определяется необходимый объем окончательной выборки. Далее уже можно делать выборку заданного объема и проводить по ней выборочное исследование.

Анализ пробной выборки начинается с вычисления выборочной средней   (Полезно вычислить и среднее квадратическое отклонение признака в пробной выборке, чтобы получить представление о величине разброса признака генеральной совокупности.). Исходя из знания величины этой cредней, а также учитывая содержание изучаемой проблемы и конкретные особенности исследования, определяется требуемая точность к оценке генеральной средней (требования к точности задаются с помощью предельной ошибки выборки Δ). Кроме того, задается уровень надежности результатов (требования к надежности задаются с помощью Р — степени уверенности в том, что отклонения выборочной средней от генеральной средней не превысят заданной предельной ошибки Δ).

Например, если =10, то ясно, что примерно такой же величины будет и генеральная средняя (если разброс признака не слишком велик). Задавшись точностью, скажем, в 5%, определим допустимую предельную ошибку:

Δ=10*5/100==0,5.

Далее, зададимся уровнем надежности результатов. Выберем, например, Р=0,95.

Заметим, что стремясь к большей точности и надежности результатов, не следует излишествовать в этом направлении, так как может оказаться, что для достижения поставленных требований придется брать выборку объемом во всю совокупность. При этом теряет смысл само применение выборочного метода. Как правило, такие повышенные требования к результатам не оправдываются целями исследования и без ущерба для дела можно остановиться на более умеренных ограничениях. В том же случае, когда высокие требования вытекают из целей исследования и вычисленный объем выборки оказывается порядка объема всей совокупности, следует сделать вывод о том, что в данном случае применение выборочного метода нецелесообразно.

Рассчитав характеристики пробной выборки, переходят к оценке результатов этой выборки. Если используется первый путь исследования (относительно большой пробной выборки), то задав предельную ошибку Δ, следует сравнить ее с предельной ошибкой, вычисленной по пробной выборке Δпр (при одном и том же значении Р). Если окажется, что Δпр<=Δ то пробной выборки вообще достаточно, она может рассматриваться в качестве основной и ее результаты служат результатами всего выборочного исследования. Если же Δпр> Δ, что нередко имеет место при втором пути исследования, то определяют необходимый объем выборки по следующей формуле:

                          (5.12)

где σ2 — дисперсия признака, вычисленная по пробной выборке; Δ— заданная точность результатов выборочного исследования (заданная предельная ошибка выборки); t — величина, которая находится по табл. 1 приложения исходя из заданной надежности Р результатов выборочного исследования.

Заметим, что если пробная выборка мала (n<30), то для определения t используется табл. 2 приложения. В ней при определении t учитывается также объем пробной выборки (для нахождения табличного значения t берется объем пробной выборки, предварительно уменьшенный на единицу). Кроме того, в том случае и вычисляется так, как указано в § 4 этой главы.

Отметим, что приведенная формула дает общий объем выборки приближенно. Поэтому желательно если есть возможность, еще несколько увеличить объем выборки по сравнению с вычисленным.

Сделав окончательную выборку найденного объема, следует обязательно проверить, совпадает ли ее предельная ошибка с заданной, т. е. удовлетворяются ли заданные требования к точности и надежности результатов. В том редком случае, когда окажется, что действительная предельная ошибка существенно больше заданной (это может произойти из-за нерепрезентативности пробной выборки), придется еще раз повторить процедуру определения объема выборки уже на основе полученных более полных и точных данных.

Приведем также формулу для нахождения необходимого объема выборки при определении доли признака:

                        (5.13)

где t и Δ имеют тот же смысл, что и в предыдущей формуле,a q — доля признака в пробной выборке.

Рассмотрим пример, поясняющий основные моменты решения задачи об определении объема выборки.

Пример 10. Воспользовавшись данными по предприятиям европейской России за 1879 г. (См.: Указатель фабрик и заводов европейской России/Сост. П. А. Орлов. Спб., 1881, вып. 1. В «Указателе» содержатся сведения по фабрикам и заводам со стоимостью производимой продукции свыше 2 тыс. руб. (всего около 12000 предприятий).), определить объемы выборок, необходимые для расчетов средней стоимости произведенной продукции в расчете на одного рабочего на предприятиях: а) с паровыми двигателями, б) без паровых двигателей.

Сделаем сначала пробную 1%-ную выборку (случайным бесповторным способом) (Из-за недостатка места выборочные данные не приведены). Отметим, что среди предприятий, попавших в выборку (128 предприятий), 87 составляют предприятия без паровых двигателей и 41 —с паровыми двигателями.

Пользуясь выборочными данными, вычисляем по каждому типу предприятий среднюю стоимость произведенной на одного рабочего продукции , среднее квадратическое отклонение σ, среднюю ошибку выборки μ и предельную ошибку выборки Δ при уровне надежности P=0,95.

Для предприятий без паровых двигателей получаем соответственно   (тыс. руб.);  ;    

Для предприятий с паровыми двигателями получим   (тыс. руб); ;  ; . Отсюда для генеральных средних вычисляются следующие пределы:

для предприятий без паровых двигателей

для предприятий с паровыми двигателями

При сопоставлении полученных результатов напрашиваются следующие выводы: средняя стоимость продукции на одного рабочего на предприятиях без паровых двигателей и на предприятиях с паровыми двигателями различна, причем на предприятиях с паровыми двигателями она заметно выше. Однако, строго говоря, такой вывод пока еще неправомерен и может рассматриваться лишь как гипотеза. Дело в том, что доверительные интервалы для генеральных средних по предприятиям без паровых двигателей (1,1; 1,7) и по предприятиям с паровыми двигателями (1,4; 3,4) пересекаются, так что средние генеральные вполне могут совпадать или даже находиться в соотношении, противоположном высказанной гипотезе.

Нетрудно заметить, что указанная неопределенность результатов получается главным образом в силу того, что предельная ошибка выборки по предприятиям с паровыми двигателями Δ2 слишком велика. В самом деле, различие между выборочными средними по двум типам предприятий составляет

Поэтому, чтобы попытаться подтвердить и обосновать высказанную выше гипотезу, достаточно, чтобы предельные ошибки выборок для обеих групп предприятий (Δ1, Δ2) не превышали половины этой разности, т. е. 0,5, тогда доверительные интервалы не будут пересекаться.

Отметим, что предельная ошибка выборки по предприятиям без паровых двигателей Δ=0.3 вполне удовлетворительна. Чтобы обеспечить предельную ошибку выборки, равную 0,5, для другой группы предприятий, рассчитаем необходимый объем выборки из совокупности предприятий с паровыми двигателями. Выбирая t по табл. 1 приложения, соответствующие значению Р= 0,9545, и пользуясь формулой (5.12), получим

Дополнив теперь выборку из группы предприятий с паровыми двигателями до рассчитанного объема, получим новые значения средней, среднего квадратического отклонения, средней и предельной ошибок выборки:

Сравним интервалы для генеральных средних. Для предприятий без паровых двигателей используем результат пробной выборки (которая оказалась для этой группы предприятий и окончательной):

А для предприятий с паровыми двигателями имеем после увеличения объема выборки

 .

Как видим, теперь доверительные интервалы действительно не пересекаются и высказанная выше гипотеза о том, что средняя стоимость продукции на одного рабочего существенно больше для предприятий с паровыми двигателями, получает убедительное и надежное подтверждение. Другими словами, данные, использованные в примере 10, свидетельствуют о том, что внедрение машин повышало производительность труда.

Интересно отметить, что для достижения нужной точности и надежности результатов из совокупности предприятий с паровыми двигателями нам пришлось сделать примерно в два раза большую выборку, чем из группы предприятий без паровых двигателей. Это объясняется тем, что для предприятий с паровыми двигателями существенно больше разброс изучаемого признака, что вполне естественно для прогрессивной технологии, применяемой на этих предприятиях.

В заключение отметим еще один поучительный факт, с которым мы столкнулись в рассмотренном примере. По предприятиям с паровыми двигателями первоначальный объем выборки составлял 41 единицу, при этом обеспечивалась точность, определяемая предельной ошибкой выборки, равная единице (Δ2=1). Такая точность, как оказалось, была недостаточной, потребовалась в два раза большая точность—Δ2`=0.5. Это привело к тому, что объем новой выборки составил 164 единицы, что в четыре раза больше первоначального.

Следовательно, необходимый объем выборки растет пропорционально квадрату требуемой точности, что следует прямо из формулы (5.12). А так как квадраты чисел при возрастании самих чисел возрастают очень быстро, то повышенные требования к точности могут привести к неумеренному росту объема выборки. Поэтому важно, чтобы требования к точности выборочного исследования всегда диктовались целями и содержанием исследования. В рассмотренном примере такой целью было обоснование содержательной научной гипотезы.

§ 4. Малые выборки

Рассмотренные выше приемы расчета ошибок выборки основаны на доказанном в математике факте нормальности распределения выборочных средних. Однако этот факт имеет место только при достаточно большом объеме выборки n. Если пользоваться изложенными приемами при п меньшем 20, могут возникнуть грубые ошибки.

Выборки, объем которых меньше 20—30 единиц совокупности, будем называть малыми (Четкой границы между большой и малой выборками в общем случае указать невозможно. Выборка, сделанная из совокупности с небольшим разбросом признака, может считаться большой, тогда как выборка такого же объема, произведенная из более разнородной совокупности, окажется малой. Вопрос о том, к какой категории отнести выборку, решается в каждом конкретном случае). Для расчета ошибок таких выборок используется несколько иной математический аппарат.

Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле

                       (5.14)

где S — оценка среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности по малой выборке. Она равна:

                        (5.15)

где σ вычисляется по формуле (4.7); n — объем выборки;k — число вариант, т. е. S несколько отличается от оценки среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности по большой выборке, см. (5.1).

Пример 11. В табл. 4 приведены данные о размерах оброка в конце XVIII в. (в руб. серебром на муж. душу). Первая выборка состоит из 16 уездов нечерноземной полосы, вторая выборка—из 16 уездов черноземной полосы. Перед нами две «естественные выборки», которые можно рассматривать как случайные, т. е. репрезентативные Требуется рассчитать выборочные средние и средние ошибки выборок.

Вычисляем последовательно средние арифметические, средние квадратические отклонения малых выборок, и, наконец, стандартные ошибки выборок Получаем:

для нечерноземной полосы

для черноземной полосы

Заметим, что в пределах интересующей нас точности вычислений поправка на малую выборку не изменила величины стандартной ошибки. Заметное различие появляется при вычислении предельной ошибки выборки.

Предельная ошибка малой выборки вычисляется по формуле

                       (5.16)

где t рассчитывают исходя из так называемого закона распределения Стьюдента с k степенями свободы (в отличие от больших выборок, где t вычисляется на основе нормального закона распределения).

Связь между t и вероятностью (уровнем надежности) Р в распределении Стьюдента сложнее, чем в нормальном распределении и опосредствуется через объем выборки. При возрастании объема выборки распределение Стьюдента приближается к нормальному, практически с ним совпадая при достаточно больших n.

При вычислении предельной ошибки малой выборки значение t(k) определяется по таблице распределения Стьюдента с k степенями свободы (табл. 2 приложения), с учетом заданного уровня надежности Р и объема выборки (для подстановки в таблицу фактический объем выборки надо предварительно уменьшить на единицу: k=n—1).

Пример 12. Используя данные предыдущего примера, найти предельные ошибки выборки для средних размеров оброка с уровнем надежности P=0,9 и Р=0,95 и определить границы для генеральной средней.

Обращаясь к табл. 2 приложения и учитывая, что при объеме выборки, равном 16, k, используемое для нахождения табличного значения t, равно 16—1=15, а заданный уровень надежности—0,9, находим t (15) =1,75.

Тогда предельная ошибка выборки для среднего размера оброка нечерноземной полосы по формуле (5.16) будет равна

Следовательно, границы генеральной средней таковы:

т. е. с вероятностью 0,9 средний размер оброка в нечерноземной полосе не выйдет за указанные границы.

Предельная ошибка второй выборки (для размеров оброка в черноземной полосе) и границы генеральной средней находятся аналогично. Имеем:

Чтобы получить более достоверные результаты, возьмем большую вероятность (уровень надежности). Пусть Р=0,95, тогда из табл. 2 приложения найдем t (15)=2,13, и для нечерноземной полосы

    

для черноземной полосы

 .    

Итак, в конце XVIII в. средний размер оброка в черноземной полосе выше, чем средний размер оброка в нечерноземной полосе. Важно, что границы, в которых заключены средние, не пересекаются. Это свидетельствует о том, что различие размеров оброка в двух районах имело не случайный, а закономерный характер.

Для более строгих выводов о существенности различия между двумя выборочными средними есть специальные методы, изложенные в гл. 9 (§2 — критерии для средних, § 3 — критерии для дисперсий). Так, если имеются две выборочные средние   и   относящиеся к двум различным совокупностям, причем , то можно предположить, что и генеральные средние этих совокупностей различны. Специальный критерий, основанный на распределении Стьюдента, позволяет для фиксированного уровня надежности Р и числа степеней свободы k=n1+n2-2 сделать вывод о значимости или незначимости различия между выборочными средними. В § 2 гл. 9 на данных примера 11 выясняется, что полученное различие между средними размерами оброка у крестьян черноземной и нечерноземной полосы в конце XVIII в. является значимым. Заметим, что проверяя гипотезу о существенности различия средних, пользуются предположением о том, что разброс признака в обеих совокупностях примерно одинаков. Это предположение также можно проверить (см. гл. 9, § 3, пример 11).

Отметим, что в тех же разделах гл. 9 рассмотрены аналогичные критерии для больших выборок, которые вместо распределения Стьюдента используют нормальное распределение, поскольку при возрастании объема выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному.

В заключение скажем несколько слов о больших и малых выборках. Различать большие и малые выборки необходимо, но точной границы между ними установить нельзя. Важно иметь в виду, что к большим выборкам можно применять аппарат теории малых выборок, тогда как обратное приводит к значительным ошибкам. В сомнительных случаях для получения надежных результатов рекомендуется пользоваться аппаратом малых выборок.

В больших выборках средние теснее группируются около генеральной средней, что позволяет получать более точные и надежные результаты, тогда как в малых выборках приходится довольствоваться более широкими границами для средних или меньшей достоверностью результатов. Тем не менее теория малых выборок нашла в практике широкое распространение и применяется даже в тех случаях, когда во власти исследователя сделать выборку большой (См., например: Дружинин Н. К. Выборочный метод и его применение в социально-экономических исследованиях М., 1970, с. 77.).

Историку обычно не приходится выбирать между формированием большой или же малой выборки, поскольку он часто имеет дело с естественными малыми "выборками, число которых он не может изменить, т. е. он стоит перед альтернативой: либо воспользоваться данными малой выборки для анализа исследуемых явлений, либо отказаться от такого анализа. Обработка этих выборок методами математической статистики позволяет в ряде случаев (когда само использование выборочного метода возможно) обоснованно решить вопрос о правомерности или неправомерности тех или иных выводов и заключений на основе имеющихся материалов. И в том и в другом случае исследование приобретает более объективный и глубокий характер, нежели при традиционных методах.

Для того чтобы применить выборочный метод к естественным выборкам, необходимо доказать тем или иным способом случайность образования имеющейся выборки. В проверке случайности выборки ведущая роль принадлежит традиционным методам содержательного источниковедческого анализа. Отсутствие преднамеренности в порядке сбора и хранения тех сведений, след от которых остался в виде естественной выборки, свидетельствует о случайности последней. Математические методы позволяют дополнить этот анализ (см. гл. 9).

И наконец, последнее замечание. В этой главе мы ограничились оценкой средней арифметической генеральной совокупности с помощью характеристик, вычисленных по выборке. Но выборочный метод позволяет решать и более сложные вопросы анализа совокупностей. В частности, по выборке можно судить о наличии или об отсутствии связи между признаками, о форме связи. К процедурам выборочного метода мы будем обращаться при необходимости в соответствующих разделах курса.