6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.
Уравнение вида
, (9)
где и известные функции от х, которое содержит искомую функцию у и ее производную только в первых степенях и не содержит их произведения, является линейным уравнением.
Уравнение (9) можно записать в виде
, (10)
где . Выясним при каких условиях для линейных дифференциальных уравнений будет справедлива задача Коши: пусть существует ли решение уравнения (9) , удовлетворяющее начальному условию ?
Согласно теореме Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в нормальной форме, если функция непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет в этой окрестности непрерывную частную производную по у, то в некоторой окрестности точки существует единственное решение уравнения (10), удовлетворяющая начальному условию .
Функция непрерывна в окрестности точки тогда и только тогда, когда функции и непрерывны в окрестности точки . Производная по у функции является непрерывной в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда функция непрерывна в окрестности точки .
Таким образом, теорема Пикара справедлива для тех и только тех точек плоскости, для которых в некоторой окрестности точки функции и определены и непрерывны.
Следовательно, теорема Пикара для линейных дифференциальных уравнений справедлива во всей области, представляющей собой полосу, параллельную оси ОУ и пересекающую ось ОХ по множеству на котором функции и определены и непрерывны.
Предположим, что функции и определены и непрерывны на отрезке , тогда в любой точке полосы существует единственная кривая, проходящая через эту точку, которая является решением уравнения (9).
Выделяют линейные однородные и линейные неоднородные уравнения. Линейное однородное уравнение может быть записано в виде
. (11)
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, если его переписать в виде
.
Разделяя переменные, будем иметь
, (?)
интегрируя, получим
.
или
, .
Потенцируя, найдем
,
или
.
Откуда
. (12)
Формула (12) содержит все решения однородного уравнения (11). В частности решение, которое удовлетворяет уравнению , т.е. нулевое решение содержится в этой формуле при . Таким образом мы получили общее решение линейного однородного уравнения (11).
Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение, т.е. уравнение вида
, . (13)
Прежде всего докажем некоторые свойства решений линейных неоднородных уравнений.
1. Если и - решения уравнения (13), то разность этих решений является решением соответствующего однородного уравнения (11).
Действительно, положим , тогда . Подставляя полученные выражения для и в уравнение (11), будем иметь
.
2. Если - решение уравнения (11), а - решение уравнения (13), то их сумма является решением уравнения (13).
Положим , тогда . Подставляя выражения для и в уравнение (13), получим
.
Пусть мы имеем некоторое частное решение уравнения (13), обозначим его и пусть - произвольное решение уравнения (13). Тогда по свойству 1. их разность является решением уравнения (11), т.е. имеет вид (12):
,
следовательно,
.
По свойству 2. является решением уравнения (13). Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме какого-нибудь одного частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Выясним, как можно найти частное решение неоднородного уравнения (13)? Для его нахождения можно воспользоваться методом неопределенных множителей.
Частное решение будем искать в виде , тогда . Подставим полученные выражения для и , получим
,
или
.
В качестве функции выберем частное решение однородного уравнения , тогда .
Частное решение получим из общего решения однородного уравнения при , т.е. .
Далее , откуда . Найдем частное решение этого уравнения
.
Следовательно, . А значит общее решение неоднородного дифференциального уравнения (13) будет иметь вид
.
Рассмотрим далее одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:
. (14)
Приведем это уравнение к виду (10), где . Таким образом задача Коши имеет место при тех же условиях.
В том случае, когда уравнение (14) является линейным уравнением. При получаем уравнение
,
являющееся линейным однородным уравнением.
Будем считать, что , 1.Разделим обе части этого уравнения на у:
(?).
Это уравнение можно переписать в виде
.
Введя новую неизвестную функцию z: , получим уравнение
или
.
Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле
.