2. Под действием внешней силы (вынужденные колебания).
Рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
. (1)
Все движения, определяемые уравнением (1) складываются из совокупности всех движений, определяемых соответствующим однородным уравнением и называемых собственными колебаниями точки, и какого-нибудь одного движения, определяемого неоднородным уравнением (1):
.
Все колебания, определяемые уравнением (1), всегда можно найти методом вариации произвольной постоянной. Вид этого решения зависит от правой части уравнения. В практике важен случай, когда внешняя сила является синусоидальной.
Итак, найдем закон
движения груза при условии, что внешняя
сила равна
,
где M
и
- постоянные. Предположим, что колебания
происходят в среде без сопротивления
(
).
Таким образом, мы имеем уравнение
.
Положим
.
Собственные колебания определяются
уравнением
, (2)
т.е. являются
гармоническими колебаниями:
.
Остается найти
частное решение уравнения (1). Вид частного
решения зависит от того, будет ли число
корнем характеристического уравнения,
соответствующего уравнению (2). Так как
характеристическое уравнение
имеет корни
,
то вид частного решения будет зависеть
от того, совпадает ли частота внешней
силы с частотой собственных колебаний
(резонанс)
или эти частоты не совпадают (нерезонансный
случай).
1. Нерезонансный случай (). В этом случае частное решение следует искать в виде
,
где В и С – неопределенные коэффициенты.
Имеем
,
откуда
Поэтому
.
Закон движения груза выражается общим решением уравнения (1):
. (3)
Вынужденные колебания, определяемые этим общим решением, являются наложениями гармонических колебаний. Второе слагаемое в (3) определяет вынужденные колебания, вызванные внешней силой. Первое слагаемое определяет собственные колебания, обусловленные жесткостью пружины и массой груза.
При сложении двух гармонических колебаний, имеющих различные частоты, возникают так называемые биения – амплитуда результирующего колебания периодически то увеличивается, то уменьшается. Это явление используют в радиотехнике.
2. Резонанс (). В этом случае уравнение (1) примет вид
.
В этом случае числа
являются простыми корнями характеристического
уравнения для соответствующего
однородного уравнения. Поэтому частное
решение в отличие от нерезонансного
случая надо искать в виде
.
Имеем
,
откуда
Поэтому
. (4)
Из (4) следует, что амплитуда вынужденных колебаний может оказаться очень большой, даже когда M невелико. Это явление резкого возрастания амплитуды колебаний под влиянием даже совсем малых внешних сил называют резонансом. График этого колебания, определяемого решением (4), заключен между прямыми
и
.
Общим решением уравнения будет
.
Вынужденные колебания, определяемые этим общим решением, являются наложением колебания с неограниченной амплитудой и гармонических колебаний.
Рассмотрим теперь
уравнение вынужденных колебаний (1) в
среде с малым сопротивлением (
)
предположив, что внешняя сила имеет
синусоидальный характер
. (5)
В этом случае собственные колебания имеют вид
.
Частное решение уравнения следует искать в виде
,
где коэффициенты В и С находятся подстановкой этого решения в уравнение (5).
Имеем
,
откуда
Поэтому
. (6)
Общее решение уравнения (5) имеет вид:
При
последнее слагаемое стремиться к нулю,
поэтому при достаточно больших t
можно считать, что
,
т.е. собственными затухающими колебаниями можно пренебречь. Таким образом, вынужденные колебания через какой-то момент времени практически не будут отличаться от гармонических колебаний:
.
Начальная фаза
.
Амплитуда А вынужденного колебания (6) выражается формулой
.
Если сопротивление
очень мало, то
.
Таким образом при приближении
к
амплитуда А
становится весьма значительной даже
при малом M,
т.е. возникает резонанс.
Явление резонанса встречается в колебаниях различных систем. При этом в одних случаях оно вредно, например, в качке мостов, перекрытий, в других – полезно, например, им пользуются в электротехнике.