§4. Площадь поверхности

Пусть гладкая кривая АВ задана параметрическими уравнениями

t[;]. (1)

Заменим (1) параметрическими уравнениями

l[0;L],

где функциии определены и непрерывны на [0;L]. Вращая кривую АВ вокруг оси ОХ, получим поверхность вращения. Возьмём произвольное разбиение Т отрезка [0;L]: :на частичные отрезки. Точкамсоответствуют точкина кривойАВ. Впишем в кривую АВ ломаную с вершинами в точках ,. Вместе с кривойАВ будем вращать ломаную. Очевидно, ломаная опишет поверхность, состоящую из объединения поверхностей n усечённых конусов (в частном случае может получиться цилиндр или конус). Ее площадь равна

,

где - образующая,, а. Пусть,. Числоявляется средним арифметическим двух чисел, значит, оно заключено между ними. Но так какy_k-1 и y_k являются значениями функции , то и среднее арифметическое также будет значением этой функции (в силу ее непрерывности). Значит,такая, что, но тогда

.

Определение 1. Площадью P поверхности вращения гладкой кривой АВ вокруг оси ОХ называется предел площади поверхности вращения ломаной P(T) при , то есть(если он существует).

Запишем P(T) в виде

. (2)

есть интегральная сумма для функции на [0;L]. Так как функция непрерывна, то существует

, (3)

где dl- дифференциал дуги. Покажем, что

. (4)

Функция она ограничена на [0;L], то есть М: l[0;L]. Тогда

=.

Итак,

. (5)

Так как кривая АВ спрямляема, то . Следовательно,Переходя в (5) к, получим (4). Переходя в равенстве (2) к, с учетом (3) и (4), получим

. (6)

Перейдём к основным параметрическим уравнениям кривой АВ, для этого проведём замену переменной по формуле :

, ,t[;].

Тогда из (6) следует

.

Если гладкая кривая задана уравнением то

или .

Если гладкая кривая задана в полярной системе координат уравнением =(), , то

.

19