§2. Кубируемые тела и их объёмы

Лк (2ч)

1. Понятие кубируемого тела и его объема

П – трёхмерное координатное пространство, .

Между П и установим взаимно-однозначное соответствие :

, ,.

Определение 1. Открытым шаром в с центром в точкеи радиусомr называется множество точек , расстояние от которых до точкименьше, чемr:

.

Определение 2. -окрестностью точки называется открытый шар с центром в точкеи радиусом.

Пусть Е- подмножество ,. Определения внешней, внутренней, граничной точек, границы множества остаются без изменений.

Определение 3. Множество Е называется ограниченным множеством или телом, если оно содержится в некотором открытом шаре.

Определение 4. Многогранным телом называется объединение конечного числа ограниченных многогранников.

Понятие объёма многогранного тела даётся в элементарной математике. Объём многогранного тела не отрицателен и обладает свойствами аддитивности, инвариантности, монотонности.

Пусть дано произвольное тело F. Рассмотрим всевозможные многогранные тела Р, целиком содержащиеся в F, и многогранные тела Q, содержащие F. Так как , то множествоограничено сверху, а- снизу.

Число называетсянижним объёмом тела F.

Число -верхним объемом тела F.

.

Определение 5. Тело F называется кубируемым (или имеющим объём), если . При этом числоназываетсяобъёмом тела F.

Теорема 1. Для того, чтобы тело F было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы нашлись два многогранных тела, такие, что.

Замечание. В теореме 1 многогранные тела P, Q можно заменить кубируемыми телами P, Q.

Определение 10. Множество точек пространства K называется множеством объёма нуль, если оно содержится в многогранном теле сколь угодно малого объёма.

Теорема 2. Для кубируемости тела F необходимо и достаточно, чтобы его граница имела объем нуль.

Объём тела F неотрицателен и обладает свойствами аддитивности, монотонности, инвариантности (сформулировать самостоятельно).

2. Объём прямого цилиндрического тела

Определение 11. Прямым цилиндрическим телом называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.

Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые основаниями; расстояние между основаниями цилиндрической поверхности называется высотой.

Теорема 3. Если основанием цилиндрического тела F является плоская квадрируемая фигура G, то тело F кубируемо, причём его объем

, (1)

где - площадь основанияG, а h – высота цилиндрического тела.

Доказательство.

Так как плоская фигура G квадрируема, то найдутся многоугольные фигуры. Построим два многогранных телаис основаниямиР и Q и высотой h, их объёмы будут равны и. Для разности этих объёмов имеем :

.

Так как и, (2)

то по теореме 1 тело F кубируемо. Докажем (1).

, следовательно, , или

. (3)

С другой стороны, т.к. , то. (4)

Из (3) и (4) с учетом (2) получим (1).

Определение 12. Ступенчатым телом называется объединение конечного числа цилиндрических тел, расположенных так, что основание каждого предыдущего из этих тел находится в одной плоскости с нижним основанием последующего.

Замечание. Из свойства аддитивности объёма и теоремы 3 следует кубируемость ступенчатых тел.

Из предыдущих рассуждений вытекает следующее утверждение: если >0 можно указать 2 ступенчатых тела F₁ F₂, таких, что , то телоF кубируемо.