III. Приложения определённого интеграла

Лк (2ч)

§1. Площадь плоской фигуры

1. Понятие границы множества и плоской фигуры

Пусть - координатная плоскость, то есть плоскость с фиксированной прямоугольнойсистемой координат, а - множество пар действительных чисел: . Междуи можно установить взаимно – однозначное соответствие:

.

В силу этого точки,, а такжеи будем отождествлять, то есть .

Определение 1. Открытым кругом с центром в точке и радиусомr называется множество точек

.

Для числовой прямой открытый круг – интервал.

Определение 2. - окрестностью точки называется открытый круг радиуса с центром в точке .

Обозначается .

Пусть E - некоторое множество, ( или).

Определение 3. Точка называетсявнутренней точкой множества E , если некоторая  - окрестность этой точки принадлежит Е (т. е. Е).

Определение 4. Точка называетсявнешней точкой множества E, если некоторая  - окрестность точки не принадлежитЕ (т. е. Е).

Определение 5. Точка называетсяграничной точкой множества E, если любая -окрестность точки содержит точки, принадлежащие множествуE, и точки, не принадлежащие Е (т.е. выполненои, где).

Другими словами, граничная точка множества – это точка, которая не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества. Граничная точка множества E может, как принадлежать, так и не принадлежать E.

Определение 6. Совокупность всех граничных точек множества E называется границей множества E и обозначается .

Пример.Рассмотрим - прямоугольник.

, Е  А – внутренняя точка множества Е;

, Е  В – внешняя точка множества Е;

, - граничные точки множестваЕ.

Определение 7. Множество E называется открытым, если его граница ему не принадлежит.

Определение 7 (эквивалентно определению 7). Множество E называется открытым, если все его точки – внутренние.

Определение 8. Множество E называется замкнутым, если его граница ему принадлежит.

Определение 9. Множество E называется ограниченным, если его можно заключить в круг радиуса .

Определение 10. Плоской фигурой F называется ограниченное множество точек из .

Границу фигуры F обозначают .

2. Понятие квадрируемой фигуры и её площади

Определение 11. Многоугольной фигурой на плоскости называется объединение конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников.

(Состоит из двух частей)

Понятие площади такой фигуры даётся в средней школе. Площадь многоугольной фигуры P будем обозначать . Она обладает следующими свойствами:

1. .

2. Если P и P не имеют общих внутренних точек, то .

3. (инвариантность) Если , то

4. (монотонность) Если , то.

Пусть- произвольная плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких простых замкнутых кривых. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Многоугольные фигуры P называются вписанными, а Q - описанными.

(из 4 свойства).

Рассмотрим множества и.

Покажем, что ограничено сверху, а– снизу.

Фиксируем . Тогда, значит, множествоограничено сверху., следовательно, множествоограниченно снизу. Значит,имеет верхнюю грань, а– нижнюю. Обозначим

, .

Величина называетсянижней площадью, -верхней площадью фигуры F.

(1).

Определение 12. Плоская фигура называется квадрируемой (или имеющей площадь), если её верхняя площадь совпадает с нижней площадью. При этом число называетсяплощадью фигуры .