1.2. Локальный минимум и максимум. Унимодальные функции. Связь между задачами максимизации и минимизации.

Теперь можем перейти к формулировке задачи минимизации функциина множестве. В дальнейшем будем различать задачи двух типов. Кпервому типу отнесем задачи, в которых требуется определить величину . Сразу же подчеркнем, что в задачах первого типа неважно, будет ли множествоточек минимумананепустым или оно пусто. Ковторому типу задач отнесем те задачи, у которых множество непусто и требуется наряду снайти какую-либо точку.

Заметим, что получить точное решение задачи первого или второго типа удается лишь в редких случаях. Поэтому на практике при решении задач первого типа обычно строят какую-либо минимизирующую последовательность для функциинаи затем в качестве приближения дляберут величинупри достаточно большом. Аналогично для приближенного решения задач второго типа достаточно построить минимизирующую последовательность, которая сходится ко множествув смысле определения 5, и в качестве приближения дляи точкивзять соответственно величинуи точкупри достаточно большом.

В отличие от задач первого типа не всякая минимизирующая последовательность может быть использована для получения приближенного решения задач второго типа. Построение минимизирующих последовательностей, сходящихся ко множеству , в общем случае требует привлечения специальных методов. В настоящей работе будутрассмотрены лишь такие задачи второго типа, у которых любая минимизирующая последовательность сходится к, Один такой класс задач дается следующей теоремой, называемой теоремой Вейерштрасса.

Теорема 2.1. (Вейерштрасса)

Пусть — замкнутое ограниченное множество из, функциянепрерывна на. Тогдаограничена снизу на, множествоточек минимумананепусто, замкнуто и любая минимизирующая последовательностьсходится к.

Возможна и более широкая постановка задач минимизации второго типа — когда ищутся не только точки минимума в смысле определения 1, но и точки так называемого локального минимума.

Определение 2.1.

Точка называетсяточкой локального минимума функции на множестве со значением, если существует такое число, чтодля всех. Если при некоторомравенстводлявозможно только при, тоназывают точкойстрогого локального минимума.

Для функции, график которой изображен на рис.2.1, точки являются точками строгого локального минимума, а в точках, удовлетворяющих неравенствами, реализуется нестрогий локальный минимум.

рис. 2.1.

Точки локального минимума, в которых минимум достигается в смысле определения 1, часто называют точками глобального или абсолютного минимума функции на множестве .

Выделим класс функций, у которых все точки локального минимума являются точками глобального минимума.

Определение 2.2.

Функцию назовемунимодальной на отрезке, если она непрерывна наи существуют числатакие, что: 1)строго монотонно убывает при(если); 2)строго монотонно возрастает при(если); 3)при, так что. Случаи, когда один пли два из отрезков,,вырождаются в точку, здесь не исключаются. В частности, если, тоназовемстрого унимодальной на отрезке .

Нетрудно видеть, что если функция унимодальна на, то она остается унимодальной и на любом отрезке.

В заключение кратко остановимся на задаче максимизации функции.

Определение 2.3.

Функция называетсяограниченной сверху на множестве , если существует такое число, чтопри всех. Функцияне ограничена сверхуна , если существует последовательность, для которой. Функциюназываютограниченнойна, если она ограничена насверху и снизу.

Определение 2.4.

Если функция ограничена сверху на, то числоназываетсяверхней граньюнав том случае, когда: 1)для всех; 2) для любого числанайдется такая точка, что. Еслине ограничена сверху на, то по определению принимается. Последовательностьназываетсямаксимизирующей для на, если. Если существует такая точка, что, тоназываетсяточкой максимума на , а величина—наибольшим или максимальным значением на . Множество точек максимуманабудем обозначать через, верхнюю грань — через.

Заметим, что верхняя грань и максимизирующаяпоследовательность всегда существуют, а максимальное значение может не существовать. Если выполнены условия теоремы 1, то , ии любая максимизирующая последовательностьсходится к.

В задачах максимизации также можно различать задачи двух типов: в задачах первого типа ищется величина , а в задачахвторого типа ищется и какая-либо точка. Нетрудно видеть, что

,

причем любая точка максимума и любая максимизирующаяпоследовательность для наявляются точкой минимума и соответственно минимизирующей последовательностью для функции —на. Это значит, что любая задача максимизации функциинаравносильна задаче минимизации функции —на том же множестве. Поэтому мы можем ограничиться изучением лишь задач минимизации.

Наконец, немного о точках локального максимума.

Определение 2.5.

Точка называетсяточкой локального максимума функции на множестве, если существует такое число, чтодля всех. Если при некоторомравенстводлявозможно только при,тоназываютточкой строгого локального максимума.

Для функции, график которой изображен на рис., точки являются точками строгого локального максимума, а в точках, удовлетворяющих неравенствами, реализуется нестрогий локальный максимум;—точка глобального максимума.

Множество всех точек локального минимума и максимума функции на множестве принято называтьточками локального экстремума функции на этом множестве или, проще, точками экстремума.