Содержание

Введение	3
Глава1. Численные методы минимизации функций. Минимизация функций одной переменной методом последовательного перебора	6
1.1. Постановка задачи	6
1.2. Локальный минимум и максимум. Унимодальные функции. Связь между задачами максимизации и минимизацию.	10
1.3. Метод равномерного перебора. Условие Липшица.	14
1.4. Метод последовательного перебора	17
1.5. Классический метод решения задач минимизации функции одной переменной	19
1.6. Метод половинного деления	20
1.7. Метод парабол	22
1.8. Метод золотого сечения	24
1.9. Применение и особенности численных методов минимизации функций одной переменной	25
Глава 2. Реализация методов равномерного перебора, последовательного перебора.	27
2.1. Реализация методов равномерного перебора и последовательного перебора	27
2.2. Тестирование программ.	28
Заключение	31
Список литературы	32
Приложение 1. Текст программы, реализующей метод равномерного перебора.	33
Приложение 2. Текст программы, реализующей метод последовательного перебора.	36

Введение

Первые задачи, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин появились еще в древние времена. Развитие промышленности в XVII-XVIII веках привело к необходимости исследования более сложных задач на экстремум и появлению вариационного исчисления. Однако лишь в XX веке при огромном размахе производства и осознании ограниченности ресурсов Земли встала задача оптимального использования энергии, материалов, рабочего времени, большую активность приобрели вопросы наилучшего в том или ином смысле управления различными процессами физики, техники, экономики и других. Сюда относится, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов, задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии, задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии, задача о быстрейшем нагреве или остывании металла до заданного температурного режима, задача о наилучшем гашении вибраций и многие другие задачи [2].

Потребности развития самой вычислительной математики также привели к необходимости исследования таких задач на минимум, как, например, задачи наилучшего приближения функций, минимизация невязки уравнений и т.д.

С задачами минимизации функций одной переменной мы впервые сталкиваемся при изучении начальных глав математического анализа и решаем их методами дифференциального исчисления. Может показаться, что эти задачи относятся к достаточно простым и методы их решения хорошо разработаны и изучены. Однако это не совсем так. Методы дифференциального исчисления находят ограниченное применение и далеко не всегда удобны для реализации на современных ЭВМ. Хотя в последние десятилетия появились другие методы, более удобные для использования на ЭВМ, требующие меньшего объема вычислительного труда, но тем не менее эту область экстремальных задач никак нельзя считать завершенной. Работы, посвященные новым методам минимизации функций одной переменной, продолжают появляться на страницах математических книг и журналов [2]. К сожалению, не существует общепринятого универсального численного метода, который позволял бы получать оптимальное решение для любой задачи нелинейной оптимизации. При решении каждой задачи минимизации, может требоваться применение нескольких методов, поэтому эффективное решение задачи минимизации зависит от набора алгоритмов минимизации, которыми владеет исследователь. В данной работе представлены методы минимизации функций одной переменной.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных — таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются (например, решение уравнений бесстолкновительной плазмы). [4]

Именно поэтому задача минимизации функций одной переменной в наше время является актуальной.

Целью работы является овладение различными методами минимизации функций одной переменной, поиск наиболее оптимального и дальнейшая программная реализация метода последовательного перебора.

Для достижения цели требуется решить конкретные задачи:

1. создание обзора метода последовательного перебора;

2. программная реализация метода последовательного перебора.

В работе имеется 2 главы. Первая глава посвящена обзору численных методов оптимизации функций одной переменной. Во второй главе представлены сведения о программной реализации методов равномерного перебора и последовательного перебора, а также рассмотрено тестирование программ на примере функции.

Данная программа имеет подробное описание и является новой. Она может быть использована студентами, аспирантами, преподавателями в учебных целях.