- •Федеральное агентство по образованию рф
- •Брянский государственный университет
- •Имени академика и. Г. Петровского
- •Филиал в г. Новозыбкове
- •Введение.
- •§ 1. Понятие множества, подмножества. Равенство множеств.
- •§2.Операции над множествами, их свойства.
- •§3. Прямое (декартово) произведение множеств. Бинарные (n-арные) отношения, их свойства.
- •§4. Область бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями.
- •§ 5. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы.
- •§6. Отношение порядка и предпорядка. Линейный порядок. Упорядоченные множества. Наибольший (наименьший), максимальный (минимальный) элементы упорядоченного множества.
- •§7.Функция (отображение) как бинарное отношение. Область определения и область значения функций. Образ и прообраз подмножества при отображении.
- •§8.Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций.
- •243036, Г. Брянск, ул. Бежицкая, 14
§7.Функция (отображение) как бинарное отношение. Область определения и область значения функций. Образ и прообраз подмножества при отображении.
Фундаментальную роль в математике играет понятие функции (отображения), которое является частным случаем функционального отношения.
Определение 1. Бинарное отношение f между элементами множеств А и В (то есть ) называетсяфункциональным отношением, если изи
Из определения 1 следует, что бинарное отношение является функциональным, когда каждому значению первой координаты пары из f соответствует единственная вторая координата, которая обозначается через y=f(x). И говорят в этом случае, что y является функцией от x.
Определение 2. называется областью определения функционального отношения.
Определение 3. Функциональное отношение f между элементами множеств А и В называется функцией или отображением А в В, если и обозначается
Множество А называется областью определения функции, множество В -областью значения функции.
Если y=f(x), то y называется образом при отображении f точки x, а x называется прообразом при отображении f точки y.
Пусть , тогданазываетсяобразом множества (подмножества) М при отображении f. В частности, образ множества А при отображенииf.
Пусть тогдапрообраз множества С при отображенииf. В частности,
Примеры: следующие отношения являются отображениями:
Следующие отображения не являются отображениями:
§8.Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 1. Пусть f и g – функции, причем g: A→B, f: B→C. Композицией (суперпозицией, произведением) функций f и g называется отображение A в C, значением которого для произвольного служитf(g(x)).
Обозначение: или , то есть (fg)(x)=f(g(x)).
Определение 2. Отображение иназывается равными тогда и только тогда, когдаf(x)=g(x)
Пример: Пусть и– функции, определяемые следующим образом:
; g(x)=1–x. Тогда
;
Из примера видно, что .
Теорема 1: Пусть ,и– отображения. Тогда и - отображенияA в D , причем (1), то есть произведения отображений ассоциативно
Доказательство. имеем:
Следовательно, равенство (1) справедливо. Что и требовалось доказать.
§9. Тождественное отображение множества на себя. Обратимое отображение. Сюръекция, инъекция, биекция. Доказательство инъективности f и сюрьективности g, удовлетворяющих условию . Теорема об обратимом отображении.
Определение 1: Отображение называетсяпреобразованием множества A.
Определение 2: Преобразование множестваX называется тождественным или единичным преобразованием, если , то есть преобразованиекаждую точку изX переводит в себя.
Определение 3: Пустьи. Если(1) , тоg называется левым обратным отображением для f. Если (2), тоg называется правым обратным отображением для f. Если выполняются равенства (1) и (2) одновременно, то g называется обратным отображением для f.
Если для f существует обратное отображение g, то f называется обратимым отображением .Обозначение: .
Лемма1. Пусть f – отображение X в Y. Тогда и .
Доказательство. имеем:
.
Аналогично доказывается второе равенство.
Лемма 2. Если обратное отображение для f существует, то оно единственное.
Доказательство: Пусть и пустьи– обратные отображения дляf (здесь и). Тогда дляg и выполняются равенства:
и (5)
Тогда, по лемме 1, имеем: то есть .
Определение 4. Отображение называетсясюръективным отображением или сюръекцией, если Imf = B. То есть сюръекция – это отображение “на” B,
Определение 5. Отображение , называетсяинъективным отображением (инъекцией) или взаимно однозначным отображением A в B, если из, то есть различные точки изA отображаются при f в различные точки из B.
Определение 6. Отображение называетсябиективным отображением (биекцией) или взаимно однозначным соответствием, если f сюръективно и инъективно.
Лемма 3: Если ии(1) , тоf – инъекция и g – сюръекция .
Доказательство: Покажем, что f – инъекция.
Пусть Предположим, что(*). Тогда,, то естьи, значит,f– инъективно.
Покажем, что g – сюръекция. имеем:
, то есть существуети значит,g - сюръекция.
Теорема 1. Отображение обратимо тогда и только тогда, когдаf – биекция.
Доказательство. 1)Необходимость.
Пусть f – обратимо, тогда для f существует обратная функция g: (1) и(2). Из (1) по лемме 3 следует, чтоf – инъекция. Из (2) по лемме 3 следует, что f – сюръекция.
2)Достаточность.
Пусть f – биекция. Покажем, что f является обратимым отображением. Так как f – биекция, то – f инъекция (то есть различным точкам х1, х2 Х соответствуют различные точки изY) и f – сюръекция ( то есть f(Х)=Y ).
Определим новое биективное отображение g по правилу Покажем, что g – функциональное отношение, то есть , g ставит в соответствие единственную точку из X. Пусть и, где. Допустим, что, тогда из инъективностиf , нои. Получили противоречие следовательно,х1=х2.
Итак, g – функциональное отношение.
Покажем, что функциональное отношение g является отображением. Действительно, так как f – сюръекция, то а, значит,
Итак, g - отображение.
Теперь необходимо показать, что Действительно,
и
Следовательно, g - обратная функция для f , то есть f – обратима. Что и требовалось доказать.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.…………………………………………………………………………. |
3 |
§ 1. Понятие множества, подмножества. Равенство множеств………………. |
3 |
§2. Операции над множествами, их свойства………………………………….. |
4 |
§3. Прямое (декартово) произведение множеств. Бинарные (n-арные) отношения, их свойства…………………………………………………………. |
7 |
§4. Область бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями. …………………………………………………………………… |
9 |
§ 5. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы………………………………………. |
11 |
§6. Отношение порядка и предпорядка. Линейный порядок. Упорядоченные множества. Наибольший (наименьший), максимальный (минимальный) элементы упорядоченного множества…………………….. |
13 |
§7.Функция (отображение) как бинарное отношение. Область определения и область значения функций. Образ и прообраз подмножества при отображении………………………………………………………………… |
15 |
§8. Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций………………………………………………………………………….. |
16 |
§9. Тождественное отображение множества на себя. Обратимое отображение. Сюръекция, инъекция, биекция. Доказательство инъективности f и сюрьективности g, удовлетворяющих условию . Теорема об обратимом отображении…………………………………………... |
17 |
Надежда Владимировна Силенок
МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ
Методические рекомендации по курсу «Алгебра»
Подписано в печать ___________ 2008 г. Формат 6084 1/16
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. п. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №______
РИО Брянского государственного университета
Имени академика И. Г. Петровского