- •Федеральное агентство по образованию рф
- •Брянский государственный университет
- •Имени академика и. Г. Петровского
- •Филиал в г. Новозыбкове
- •Введение.
- •§ 1. Понятие множества, подмножества. Равенство множеств.
- •§2.Операции над множествами, их свойства.
- •§3. Прямое (декартово) произведение множеств. Бинарные (n-арные) отношения, их свойства.
- •§4. Область бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями.
- •§ 5. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы.
- •§6. Отношение порядка и предпорядка. Линейный порядок. Упорядоченные множества. Наибольший (наименьший), максимальный (минимальный) элементы упорядоченного множества.
- •§7.Функция (отображение) как бинарное отношение. Область определения и область значения функций. Образ и прообраз подмножества при отображении.
- •§8.Композиция функций. Теорема об ассоциативности произведения функций.
- •243036, Г. Брянск, ул. Бежицкая, 14
§4. Область бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями.
Пусть , то есть- бинарное отношение между элементами множеств А и В. Тогда элементами множестваявляются упорядоченные пары (a,b), где
Определение 1. Множество всех первых элементов пар из называетсяобластью определения бинарного отношения и обозначаетсяDom.
Определение 2. Множество всех вторых элементов пар из называетсяобластью значений бинарного отношения и обозначаетсяIm.
Определение 3. Множество DomImназывается областью бинарного отношения .
Из определений следует, что ,
Так как бинарное отношение между элементами множеств А и В является подмножествами множества , то над бинарным отношением можно определить операции объединения, пересечения, разность, как и над множествами. Роль универсального множества здесь будет играть множество, которое называется универсальным бинарным отношением.
Если , то\
Определим еще обратное или инверсное бинарное отношение для , обозначаемое.
Кроме свойств, приведенных в теореме 1 §2, справедливы также следующие:
Пусть то есть-бинарное отношение между А и В,-бинарное отношение между В и С.
Определение 4. Композицией или произведением бинарных отношений иназывается бинарное отношение между множествами А и С, обозначаемое∙или просто, состоящее из всех пар (a,c), таких что , то есть
Для бинарного отношения на множестве А справедливы следующие свойства
1.ассоциативность.
2.
3.
Обозначим через Это бинарное отношение называется также диагональю или отношением равенства. Тогда :
4.
5.На множестве А существует такое отношение, что
§ 5. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества отношением эквивалентности на классы.
Определение 1. Бинарное отношение на множестве А называетсяотношением эквивалентности, если - рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Определение 2. Пусть -отношение эквивалентности на множестве А. Множествоназываетсяклассом эквивалентности с представителем а или смежным классом А по . И обозначается а\.
Множество всех классов эквивалентности называется фактор - множеством и обозначается А\.
Определение 3. Пусть Ø.Разбиением множества А на классы называется совокупность его непустых подмножеств множества А, объединение которых совпадает с самим множеством А, а пересечение любых двух различных из них пусто. Другими словами совокупность из S подмножеств множества А является разбиением множества А, если выполняются следующие условия:
1) каждое подмножество из S непусто;
2) объединение всех подмножеств из S совпадает с самим множеством А;
3) пересечение любых двух различных подмножеств из S равно пустому множеству.
Теорема 1. Если на непустом множестве А задано отношение эквивалентности , то А разбивается отношениемна непересекающиеся классы, причем эти классы имеют вид а\, где
Доказательство: Пусть а\=Необходимо показать, что:
1) Ø.
2)
3) из Ø следует, что
1) Действительно, так как - отношение эквивалентности, то- рефлексивно, а, значит,. Следовательно,, то естьØ.
2) Так как . С другой стороны,
Отсюда,
3) Предположим, что Ø. Пусть, например,, тогда, по определению класса эквивалентности,
Покажем, что ПустьТак как в силу симметричности,то в силу транзитивности,. Следовательно,. В силу произвольности выбора х, получаем:
Покажем, что . ПустьтогдаТак както в силу симметричности,. Следовательно, с учетом транзитивности,
Из и
Из (1) и (2) Получили противоречие с предположением, о том, что
Итак, множество А является объединением непустых непересекающихся классов, вида а\. Что и требовалось доказать.
Замечание. Пусть - отношение эквивалентности на непустом множестве А. Тогда по теореме 1 множество А разлагается на непересекающиеся классы эквивалентности по отношениюс представителем а.
Пример: Дано множество: A={1,2,3,4}, на котором задано отношение эквивалентности ={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(2,4);(4,2)}. Построить разбиение множества А на непересекающиеся классы, соответствующее оношению эквивалентности.
Решение: A1={1}; A2={2,4}; A3={4}. A/={A1, A2, A3}.
Теорема 2. Пусть Если- разбиение непустого множества А на непересекающиеся классы, тоS соответствует отношение эквивалентности на множестве А, причем
Доказательство. Пусть разбиение непустого множества А на непересекающиеся классы. Тогда, 1)Ø,2)Ø
Определим на множестве А бинарное отношение по правилу:Другими словами, элементыa и b находятся в отношении тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же классу
1. Так как S - разбиение А, то и так как элементa принадлежит одному классу , то по определению, пара, то есть- рефлексивно на А.
2. Пусть .Тогда, по определению ,a и b принадлежат одному и тому же классу . Следовательно, и элементыb и a принадлежат одному и тому же классу . По определениюимеем:, то есть-симметрично на А.
3. Пусть и . Значит, по определению, а иb принадлежат одному и тому же классу Аt и b и с принадлежат одному и тому же классу Аk. Так как b Аt и b Аk, то Аt= Аk, следовательно, а и с принадлежат одному и тому же классу и, значит, (а, с) . Итак,- -транзитивно на А.
Следовательно, - отношение эквивалентности на А.
Так как каждый класс эквивалентности по отношению эквивалентности состоит из тех и только тех элементов из А, которые находятся в отношении, то классы эквивалентности совпадают с классами изS. Но множество всех классов эквивалентности есть Что и требовалось доказать.
Замечание. В силу теорем 1 и 2, между множеством всех отношений эквивалентности на множестве А и множеством всех разбиений множества А на непересекающиеся классы существует взаимно однозначное соответствие. Следовательно, эквиваленций на конечном множестве А существует столько, сколько существует разбиений множества А.
Пример. Подсчитать, сколько отношений эквивалентности существует на множестве А={1,2,3}. Выписать отношения эквивалентности на А и соответствующие им разбиения.
Решение.
1. S1={{1},{2},{3}}
2. S2={{1,2},{3}
3. S3={{1,3},{2}}.
4. S4={{1},{2,3}}.
5. S5={{1,2,3}}
Итак, существует лишь 5 разбиений множества А, следовательно, на А существует лишь 5 отношений эквивалентности.