§2.Операции над множествами, их свойства.

Определение 1. Пересечением множеств А и В называется множество, обозначаемое А∩В, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно.

Для наглядности будем использовать так называемые диаграммы Эйлера- Вена.

А∩В

Определение 2.Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое АB,состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному множеству А или В.

АВ

Определение 3. Множества называются непересекающимися, если их пересечение равно пустому множеству.

AØ.

Определение 4. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А\B, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

А\B

Под универсальным множеством будем понимать такое множество U,что все рассматриваемые множества являлись подмножествами U.

Определение 5.Разность U\B называется дополнением ко множеству В и обозначается.

Из определения ясно, что 1) В=Ø; 2)=U.

Теорема 1.Для произвольных множеств А ,В и С справедливы следующие свойства:

1. Коммутативность пересечения и объединения:

. ;

2. Ассоциативность пересечения и объединения:

; ;

3. Дистрибутивность пересечения относительно объединения:

;

Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

;

4. Идемпотентность пересечения и объединения:

,;

5. =U; =Ø

6. Законы де Моргана:

=;=

7. Законы поглощения:

U;=Ø;

U=U; ;

Ø=A; Ø= Ø;

8. ;

9. Закон инволюции: =

10. Закон исключения разности: .

Доказательство(с помощью определений)

1. Свойство 1 выполняется, т.к. по определению операции пересечения , левая часть Аесть множество всех элементов, принадлежащих А и В одновременно, а правая частьесть множество всех элементов, принадлежащих В и А одновременно. Отсюда следует, что левая и правая части состоят из одних и тех же элементов. Свойства 1 и 2 доказываются аналогично. Докажем свойство 6:=. ПустьY=. Пусть xX. Тогда, по определению x и и, , т.е.X(1).

Пусть теперь y и ив силу произвольности выбораy, все элементы множества Y принадлежат X, т.е (2).

Из (1) и (2) X=Y,т.е.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Замечание 1.Операции объединения и пересечения можно распространить на любую совокупность множеств.

Пусть A₁, A₂, … , A_n-множества. Пересечением множеств A₁, A₂, … ,A_n называется множество С, обозначаемое С=, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множествA₁, A₂, … ,A_n.

Аналогично, объединением множеств А₁, A₂, … , А_n называется множество С, обозначаемое С=, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А₁, A₂, … , А_n .

Справедливы обобщенные дистрибутивные законы:

и ,

а также обобщенные законы де Моргана:

и .

Замечание 2. Не трудно показать, что если А, В и С- конечные множества, то:

и .

§3. Прямое (декартово) произведение множеств. Бинарные (n-арные) отношения, их свойства.

Рассмотрим множества {1,2}и {2,1}.Они равны, так как состоят из одних и тех же элементов. Однако, в математике и технике приходится рассматривать и упорядоченные множества, то есть множества с заданным на них порядком следования элементов. Так, точки на плоскости А(1,2) и В(2,1) являются различными. Иногда, упорядоченную пару определяют следующим образом:

Определение 1. (a,b){{a},{a,b}}, то есть под упорядоченной парой понимается множество, состоящее из двух множеств: неупорядоченной пары {a,b} и множества, состоящего из одного элемента, который считается первым.

Это определение предложил польский математик Казимеж Куратовский (1896-1980).

Очевидно, что:

1) ;

2).

Определение 2. Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ (читается: “A прямо на В”), и состоящее из всех упорядоченных пар (a,b), где то есть

.

Пример: А={1,2}; B={3,4}

Из примера видно, что Операцияне коммутативна.

Определение 3. Бинарным отношением между элементами множеств А и В или бинарным отношением, определенным на паре множеств А и В называется подмножество множества .

Бинарное отношение обозначается обычно большими буквами латинского алфавита R, S, T, либо малыми буквами греческого алфавита ,….

Определение 4. Прямым произведением множеств А₁, А₂, … , А_n называется множество , состоящее из всех упорядоченныхn‑ок (a₁,a₂,…a_n) (из всех кортежей длины n), где

Определение 5. n-арным отношением между элементами множеств А₁, А₂, … , А_n называется подмножество множества

При n=1 отношение называется унарным, при n=2 отношение называется бинарным, при n =3 отношение называется тернарным и т. д.

Определение 6. Бинарное отношение между элементами множества А и А называется бинарным отношением на множестве А. То есть, это подмножество множества

Множество обозначают такжеи называют декартовым квадратом множества А.

Если тои.

Определение 7. n-арным отношением на множестве А называется подмножество множества Аⁿ называется n-ой декартовой степенью множества А.

Пример: Пусть А={1,2}, тогда и, следовательно, на множестве А можно задать 16 различных бинарных отношений. Выпишем некоторые из них:

1) Ø;

2) ;

3) -диагональ;

4) {(1,2),(2,1)} и др.

Пусть – бинарное отношение на множестве А. Если, то говорят, чтоa и b находятся в отношении и пишут

Определение 8. Бинарное отношение на множестве А называется рефлексивным, если для всех

Замечание: Множество называется диагональю множества. Отношениерефлексивно тогда и только тогда, когда.

Определение 9. Бинарное отношение называется на множестве А симметричным, если из следует, что, для всехa и b из множества А.

Определение 10. Бинарное отношение на множестве А называется транзитивным, если из и, следует, чтодля всехa, b и с из множества А.

Определение 11. Бинарное отношение называется антирефлексивным на множестве А, если для всех

Определение 12. Бинарное отношение на множестве А называется антисимметричным, если из идля всехa и b из множества А.

Определение 13. Бинарное отношение называется связанным на А, если для всех a и b из множества А выполняется одно и только одно из соотношений: a=b или или.

Примеры: 1) Отношение параллельности прямых на плоскости является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

2) Отношение “меньше” на множестве действительных чисел является антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным и связанным.

3) Отношение на множестве действительных чисел является антирефлексивным и симметричным.

4) Отношение на множестве натуральных чисел является симметричным и транзитивным, не является рефлексивным, не является антирефлексивным и не является связанным.

5) Отношение на множестве является рефлексивным, симметричным и транзитивным, не является связанным.