Федеральное агентство по образованию рф

Брянский государственный университет

Имени академика и. Г. Петровского

Филиал в г. Новозыбкове

кафедра математики, физики и информатики

Силенок Н. В.

МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ

Методические рекомендации по курсу «Алгебра»

БРЯНСК 2008

ББК 22.14я73

С - 36

Силенок Н. В. Множества и отношения. Методические рекомендации по курсу «Алгебра». – Брянск: РИО БГУ, 2008. – 20 с.

Пособие составлено в соответствии с программой курса «Алгебра» для студентов физико-математического факультета.

Рецензенты:

Анищенко А. Г. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры

Шубабко Е. Н. – кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики, физики и информатики филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове.

Печатается по решению совета филиала Брянского государственного университета в г. Новозыбкове. Протокол №________ от _______

@ Силенок Н. В., 2008

@ РИО БГУ, 2008

Введение.

В школьном курсе математики над числами были введены некоторые отношения. Например, отношения «<», «>», «=» и др. Кроме того, некоторые отношения введены также и на других множествах. Например, на множестве всех прямых плоскости введены отношения параллельности и перпендикулярности прямых; на множестве всех треугольников плоскости введены отношения равенства и подобия треугольников и т. д.

В данном пособии изложены основные понятия теории множеств. Оно предназначено для студентов первого курса физико-математического факультета.

§ 1. Понятие множества, подмножества. Равенство множеств.

Понятие множества в алгебре является первичным, т.е. неопределяемым (как например понятие точки в геометрии). Вот как Георг Кантор (1845-1918, немецкий математик) описывает понятие множества:

„Под многообразием или множеством я понимаю всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в единое целое с помощью некоторого закона.”

Замечание: приведенная цитата не является определением множества, это его описание.

Группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки, начавшая работу в 1939г., сделала попытку обозреть всю математику с единой аксиоматической, теоретико-множественной точки зрения. У них фигурирует следующие описания понятия множества:

„Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.”

Мы будем рассматривать интуитивную (кантовскую) теорию множеств, построенную в конце 19 в. немецким математиком Георгом Кантором.

Множества чаще всего обозначают большими буквами A, B, С,…, X, Y, а элементы множеств – малыми буквами a, b,…., α, β и т.д.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø.

Если x есть элемент множества М, то пишут x  М и читают „x принадлежит М”. Если x не является элементом множества М, то пишут x М и читают „x не принадлежит М”. Множества различают конечные и бесконечные. Конечным называется такое множество, количество элементов которого есть конечное натуральное число. Количество элементов множества А обозначается n(A) или |А|.

Определение 1. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначение: ВА.

Если ВА и В≠А, то В называетсясобственным подмножеством множества А, обозначение ВА. Очевидно, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

1) АА, т. е. отношение «» - рефлексивно;

2) Если АВ и ВС, то АС, т. е. отношение «» - транзитивно;

3) ØА.

Подмножества Ø и А множества А называются несобственными (тривиальными).

Определение 2. Два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если |А|=|В|.

Определение 3. (по Кантору). Множество X называется бесконечным, если оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству.

Символически определение 3 можно записать так:

X - бесконечно <=> YX: |X|=|Y|.

Чаще всего для задания множеств используют два способа:

1. Перечислением всех его элементов. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = {1, 2, a, x} или B = {город Москва, река Десна, планета Земля}.

2. Описание множества с помощью его характеристических свойств. Чаще всего при этом используют запись A = {x: P( x )}, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )".

Например, B = {x:   x- натуральное число, меньшее 10 }, при этом, очевидно, что B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. E = { x|   x = 3^k,    k – любое натуральное число.}

Определение 4. Множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Другими словами, множества А и В называются равными, если А является подмножеством множества В и В является подмножеством множества А. Обозначение: А=В.

Или, символически: А=В <=> АВ и ВА.

Очевидно, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

1) Если А=В и В=С, то А=С (транзитивность отношения «=»);

2) А=А (рефлективность отношения «=»);

3) Если А=В, то В=А (симметричность отношения «=»);

Определение 5. Множество всех подмножеств заданного множества А называется булеаном множества А и обозначается Р(А).

Теорема 1. Булеан n-элементного множества А содержит 2ⁿ элементов, т.е., если │А│=n, то│Р(А)│=2ⁿ.