2 Описание установки и вывод расчетной формулы

В комплект лабораторной установки входят маятник (рисунок 2), секундомер, мерная линейка.

Чечевицу 2 можно передвигать по стержню и фиксировать с помощью винта. Для определения ее положения на конце стержня нанесены миллиметровые деления 1. Опорные призмы 3 и 7 закреплены на стержне 5 жестко.

На рисунке 2 приведено одно из положений маятника. При этом маятник будет колебаться относительно призмы 3. Можно перевернуть маятник и установить призму 7 в канавку 4. Если передвигать чечевицу 2 по стержню, то изменится положение точки C– центра масс маятника, а, следовательно, и период колебаний.

Исходя из (1) период колебаний маятника на ребре призмы (оси) Авыразится:

, (2)

а период колебаний на ребре призмы (оси) B:

, (3)

где J_А– момент инерции маятника относительно осиA;

J_B– момент инерции маятника относительно осиB.

Рисунок 2 Схема подвешенного оборотного маятника:

1 – миллиметровая шкала; 2 – подвижная чечевица;

3, 7 – опорные призмы; 4 – опорная канавка; 5 – стержень;

6 – неподвижная чечевица

На рисунке приняты обозначения: С– центр масс маятника;l₁– расстояние между ребромАи точкойС;l₂– расстояние между ребромВи точкойС

Преобразуем (2) и (3), используя теорему Штейнера, которая для колебаний на ребре призмы Aзаписывается как

J_A=J_C+m_Cl₁², (4)

и гласит: момент инерции маятника относительно ребра призмы Аравен сумме момента инерции маятника относительно центра массC(J_C) и произведения массы на квадрат расстояния от оси вращения до центра массC(m_Cl₁²).

Теорема Штейнера для колебаний маятника относительно ребра призмы Bзаписывается в виде

J_B=J_C+m_Cl₂², (5)

где l₂- расстояние между ребромBи центром массC;J_C- момент инерции оборотного маятника относительно центра массC.

Определение величины Jтела сложной формы, такого как оборотный маятник, является трудной задачей. Поэтому преобразуем зависимости моментов инерции так, чтобы исключить величинуJ_C.

Перепишем формулы (2) и (3) с учетом выражений (4) и (5)

, (6)

_.(7)

Для решения нашей задачи найдем такое положение чечевицы 2, что будет выполняться условие

T_А=T_В=T₀. (8)

Подставим (6) и (7) в условие (8):.

Отсюда получаем

J_C=ml₁l₂. (9)

Выражение (9) подставим, например, в формулу (6) (или в (7))

_.

Учтем, что m_C=m, тогда получаем

.

Отсюда ускорение свободного падения тел ,

где, как видно из рисунка 2, l₁+l₂=L_пр(L_пр- приведенная длина оборотного маятника).

Таким образом, для вычисления ускорения свободного падения тел окончательно получаем

_.(10)

Из (10) видно, что требуется найти экспериментально такие периоды колебаний маятника, чтобы выполнялось условие (8). Заметим, что добиться точного совпадения значений T_АиT_Впрактически невозможно. Приходится подбирать такое положение чечевицы 2, чтобы на призмах 3 и 7 оборотный маятник совершал колебания с приблизительно одинаковыми периодамиT_АT_В.