ДГМ-4раздел(Диф.ур-ния)

Метод называется устойчивым (ограниченно устойчивым), если существует такое число hкр>0, что при использовании метода для решения тестового примера, где вещественная составляющая λ меньше нуля (Re(λ)<0), с шагом 0<h≤hкр при xk=x0+kh стремящемся в бесконечность, глобальная ошибка ограничена.

Рисунок 3.4. Точное аналитическое и численное решения дифференциального уравнения:

1 – ограничено устойчивое;

2 – неустойчивое;

3 – асимптотически устойчивое.

Величина hкр называется критическим шагом. Если h>hкр, глобальная ошибка может неограниченно возрастать.

Метод называется A-устойчивым (асимптотически устойчивым),

если при его применении все численные решения тестовой задачи с фиксированным шагом h>0 и Re(λ)<0 стремятся к нулю при xk=x0+kh→∞.

6. Жесткость систем дифференциальных уравнений

Аппроксимируем систему дифференциальных уравнений dY/dx=F(x,Y(x)) в некоторой окрестности точного решения Y(x) линеаризованной системой

dY/dx = F(x,Y(x)) + J(x)(Y-Y(x))

21

где J(x) – матрица Якоби, составленная из вычисленных в точке (x, Y(x)) частных производных.

Если изменение J(x) на некотором интервале [x0, xn] достаточно мало, то локальные фундаментальные решения системы приближенно равны eλix, где λi= λi(x) – локальное собственное значение J(x).

Будем предполагать, что система локально устойчива, так что Re(λi)<0 и фундаментальные решения затухают с ростом x со скоростью, пропорциональной величине

1/Re(λi),

которая называется постоянной времени.

Задача Коши называется жесткой на интервале [x0, xn], если для всех xє [x0, xn] выполняется два соотношения

Re(λi)<0, S(t)=max(Re(λi))/ min(Re(λi))>>1

На практике систему дифференциальных уравнений можно считать жесткой, если S(t) является величиной O(10), однако в некоторых прикладных задачах, включая теорию электрических сетей S(t) может достигать величины O(108).

Пример

величины, что свидетельствует об устойчивости решения системы, а жесткость системы равна

S(t)= λ2/λ1=-1000/-1=103>>1.

22

Может показаться, что численное интегрирование заданной системы

можно было бы вести сначала с малым шагом интегрирования, а затем, когда компонента e-1000t станет малой, увеличить шаг. На самом деле это не так.

Компонента решения e-1000t заставляет вести интегрирование с малым шагом на всем интервале. Шаг определяется наименьшей постоянной времени.

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение численным метода решения дифференциальных уравнений.

2.Что называется шагом интегрирования?

3.Укажите различия явных и неявных методов численного решения дифференциальных уравнений.

4.Какие есть понятия ошибок численного решения дифференциальных уравнений и в чем они состоят?

5.Что называют порядком численных методов?

6.В чем заключается причина неустойчивости численных методов?

7.Поясните понятия ограниченно устойчивого, неустойчивого и асимптотически устойчивого численного метода решения дифференциальных уравнений.

8.Дайте определение понятию жесткости системы дифференциальных уравнений.

23

Лекция №4 Явные методы решения дифференциальных уравнений

Структура лекции

1.Явный метод Эйлера

2.Методы Рунге-Кутта второго порядка

3.Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

Введение

В предыдущей лекции были рассмотрены основные понятия теории численных методов решения дифференциальных уравнений. Опираясь на эти понятия, рассмотрим некоторые методы численного решения, определяя их порядок точности относительно шага интегрирования и устойчивость методов.

1. Явный метод Эйлера

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

первого порядка разрешенных относительно производной, для которого заданы начальные условия в виде X(t0)=X0

Суть метода Эйлера заключается в переходе от бесконечно малых приращений к конечным, то есть в замене производной приближенным

системы дифференциальных уравнений (4.1), называемый явным методом Эйлера.

Метод Эйлера является ограниченно устойчивым, то есть существует критический шаг интегрирования hкр=Cτmin, где τmin – минимальная постоянная времени, а C = 2. Метод имеет первый порядок точности относительно шага h: ξk(h)=O(h), k=1,…, n.

24

Геометрически метод Эйлера может быть интерпретирован, как замена точного частного решения дифференциального уравнения (интегральной кривой) ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных ней в узлах.

Пример

Приближенно решить дифференциальное уравнение = − / на отрезке [-1, 3] с начальным условием x(-1)=0,21 и шагом h=0,1.

Решение

Стоит отметить, что условие существования решения данного уравнения нарушается при приближении x к нулю, поэтому при решении дифференциального уравнения на каждом шаге требуется проверять условие x≠0 и при невыполнении этого условия прекращать интегрирование.

Рассматриваемое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому его частное решение, удовлетворяющее начальному

условию, можно получить аналитически

= -1,0441 − .

Анализ частного решения позволяет сделать вывод, что решение рассматриваемой задачи существует для | | < √1,0441. То есть интервал существования решения составляет (-1,0219; 1,0219). Явный метод Эйлера в

25

данной задаче позволяет найти приближенное решение на интервале [-1; 1], с

26

2. Методы Рунге-Кутта второго порядка

Методы Рунге-Кутта второго порядка основаны на разложении функции в ряд Тейлора и учете трех его первых членов (до второй производной включительно).

Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом (метод

предсказания и коррекции) реализуется по формуле

& = & + /2 # , & + / , &0 1$

Метод имеет второй порядок точности относительно шага h:

ξk(h)=O(h2), k=1,…, n.

Алгоритм решения и геометрическая интерпретация заключается в следующем (рисунок 4.3):

1. Приближенно вычисляют значение функции в точке tk+h по формуле Эйлера и наклон интегральной кривой в этой точке

&′ = / , &0 1

27

Метод Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом реализуется по формуле (модифицированный метод Эйлера)

Формул для приближенного решения системы дифференциальных уравнений на (k+1)-ом шаге имеют вид

& = & + /2 / + /2, & / 1

Метод имеет второй порядок точности относительно шага h:

ξk(h)=O(h2), k=1,…, n.

Алгоритм решения и геометрическая интерпретация заключается в следующем (рисунок 4.4):

1. Делают дробный шаг tk+h/2 по формуле Эйлера находят

& / = & + /2 ( , & )

2. В найденной точке определяют наклон интегральной кривой

&′ / = / + /2, & / 1

3. По этому наклону рассчитывается значение Xk+1.

Рисунок 4.4. Интегральная кривая для частного решения дифференциального уравнения и его численное решение в узлах сетки

3. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка основан на разложении искомого решения y(x) в ряд Тейлора, учитывающий члены, содержащие степени шага h до четвертой включительно.

28

Наиболее распространенный вариант этого метода, заключающийся в

последовательном вычислении на каждом шаге коэффициентов формулы

& = & + 16 + 2 + 2 + ,

= + , & + .

Метод имеет четвертый порядок точности относительно шага h:

ξk(h)=O(h4), k=1,…, n.

Метод Рунге-Кутта четвертого прядка, как и все методы рассмотренные выше, является одношаговым, так как значения вычисляются на основе текущего значения Xk. Кроме того, эти методы ограниченно устойчивы. Критическое значение шага интегрирования для метода Рунге-Кутта четвертого прядка составляет Для выполнения одной итерации метод Рунге-Кутта четвертого прядка требует четыре раза произвести вычисление правой части. Приведенные методы позволяют легко менять шаг в процессе вычисления.

Вопросы для самоконтроля

1.В чем состоит суть метода Эйлера?

2.Какие еще явные методы решения дифференциальных уравнений были рассмотрены в данной лекции?

3.Каким порядком точности относительно шага интегрирования обладают рассмотренные в лекции методы?

4.Какими с точки зрения устойчивости являются рассмотренные в лекции методы?

Основная учебная литература

1. Вычислительная математика для специалистов наукоемких, высокотехнологичных инновационных предприятий и организаций [Электронный ресурс]: учебное пособие / В. В. Ласуков, С. В. Рожкова; Национальный исследовательский Томский политехнический университет

29

(ТПУ). — Томск: Изд-во ТПУ, 2011. — Электронная версия печатной публикации. — Доступ из корпоративной сети ТПУ.

Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2012/m55.pdf

2.Теория и реализация задач вычислительной математики в пакете MathCad [Электронный ресурс] : учебное пособие / Национальный исследовательский Томский политехнический университет (ТПУ), Институт кибернетики (ИК), Кафедра автоматики и компьютерных систем (АИКС) ; сост. А. И. Кочегуров ; Е. А. Кочегурова. — Томск: Изд-во ТПУ, 2013. — Электронная версия печатной публикации. — Доступ из корпоративной сети ТПУ.

Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2014/m113.pdf

3.Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс]: учебник для бакалавров / В. С. Шипачев. – 4-е изд. — Мультимедиа ресурсы (10 директорий; 100 файлов; 740MB). – Москва: Юрайт, 2013. – 1 Мультимедиа CD-ROM. – Бакалавр. Базовый курс. –Бакалавр. Углубленный курс. – Электронные учебники издательства Юрайт. – Электронная копия печатного издания. – Доступ из корпоративной сети ТПУ.

Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2013/FN/fn-2437.pdf

4.Бибиков, Ю. Н.Курс обыкновенных дифференциальных уравнений [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Ю. Н. Бибиков. — Москва: Лань, 2011. — 304 с. Предм. указ.: с. 299-301.. — ISBN 978-5-8114-1176-4.

Схема доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=1542

5.Мышкис, А.Д. Математика для технических вузов : : Учеб. пособие. —

Москва: Лань, 2009. — 640 с.. — ISBN 978-5-8114-0395-0: 690-00.

Схема доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=282

6.Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: учеб. пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов. – М.: Высш.

шк., 2001. – 376 с.: ил.

30