17. Дюрация облигаций.

Дюрация (англ. duration — длительность) — это средневзвешенный срок потока платежей, причем весами являются дисконтированные стоимости платежей. Дюрация является важнейшей характеристикой денежного потока, определяющая чувствительность его текущей стоимости к изменению процентной ставки. Дюрация потока зависит не только от его структуры, но и от текущей процентной ставки. Чем выше ставка, тем меньше доля стоимости дальних выплат по сравнению с короткими и тем меньше дюрация, и наоборот, чем меньше ставка, тем больше дюрация потока платежей.

Дюрация облигации[править | править вики-текст]

Для бескупонной облигации номиналом  со сроком погашения  текущая стоиомсть равна

Она же совпадает с дисконтированной стоимостью единственного платежа, поэтому ее дюрация просто равна сроку облигации:

В случае купонной облигации денежный поток состоит из купонных платежей и погашения номинала. При этом погашение номинала может быть частями (амортизация) и купонная ставка может вообще говоря изменяться в течение срока обращения облигации. Если величину купонов обозначить , а гашения номинала , то дюрация облигации будет равна

где — цена облигации (предполагается что в качестве  используется доходность к погашению облигации, поэтому ).

Формула будет иметь точно такой же вид, если вместо величины купонов  использовать соответствующие купонные ставки, вместо сумм гашений номинала — доли гашений номинала, а вместо цены облигации в денежном выражении  использовать стандартную цену в процентах (долях) от номинала.

При прочих равных условиях, чем больше срок погашения и (или) купонная ставка и (или) доходность к погашению, тем больше дюрация облигации. При прочих равных условиях чем чаще выплачивается купон, тем меньше дюрация.

18. Выпуклость облигаций.

Выпуклость (англ. Convexity) — характеристика денежного потока (облигации) являющаяся мерой чувствительности его дюрации к процентным ставкам. Позволяет уточнить (поправка второго порядка) влияние процентных ставок на текущую стоимость денежного потока (облигации). Поправка обусловлена тем, что зависимость текущей стоимости от процентной ставки (ставки дисконтирования) является нелинейной, поэтому линеаризация этой зависимости с помощью дюрации может недостаточно точно отразить влияние процентных ставок. Учет выпуклости позволяет уточнить влияние процентных ставок, в том числе позволяет учесть асимметричность влияния ставок при увеличении и уменьшении ставок. В целом, чем выше выпуклость, тем более чувствительна цена облигации к уменьшению процентных ставок и менее чувствительна цена облигации к увеличению процентных ставок.

Используя первые два члена в разложении функции зависимости приведенной стоимости  от процентной ставки в ряд Тейлора получим:

Разделив это выражение на PV(r) получим

Первый множитель представляет собой дюрацию (модифицированную, если - обычная ставка, а не логарифмическая) с обратным знаком, а второй — это и есть искомая выпуклость (модифицированная в той же ситуации). Исходя из определения выводится формула:

Выражение  и называют обычно выпуклостью. Собственно величина — это модифицированная выпуклость.

В первом приближении в качестве выпуклости также можно использовать величину , где -дюрация денежного потока, что, однако, снижает точность расчетов.