630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле

где n – число членов ряда.

В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 700 руб. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 700 руб., а другая – более 700 руб. в месяц).

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по чис­ленности части) оказывается в каком-то из интервалов призна­ка х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная час­тота (накопленная сумма частот) равна или превышает полу­сумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линей­ной интерполяцией по формуле:

(13)

где – нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал;

– половина от общего числа наблю­дений; – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; – число наблюдений в медианном интервале.

Формула (13) получена исходя из допущения о равно­мерности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.

Рассчитаем медиану по данным табл. 4.4. Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно бу­дет интервал стоимости ОПФ малых предприятий (18–20 тыс. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 18 (2+6+10), что превышает половину суммы всех частот (25:2 = 12,5). Ниж­няя граница интервала 18 млн руб., его частота 10; частота, накопленная до него, равна 8. Подставив данные в формулу (4.13), получим, тыс. руб.:

Полученный результат говорит о том, что из 25 малых предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 тыс. руб., а 12 предприятий – более этой величины.

Медиана находит практическое применение в маркетин­говой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсо­лютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая: .

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

Квартили и децили

Более общая постановка вариант, занимающих определенное порядковое место в ранжированном ряду, называется порядковой статистикой. К порядковым статистикам принадлежат и экстре­мальные значения признака, т. е. минимальные и максимальные в данном ряду. Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили; первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Второй квартилью можно назвать медиану. Далее можно говорить об отсекающих де­сятые части — децилях и т. д.

Определение этих порядковых статистик в вариационном ряду, так же как и определение медианы, начинается с расчета порядково­го номера соответствующего варианта, а затем по накопленным час­тотам определяется интервал, в котором находится соответствующий вариант. Определение величины накопленного варианта внутри интервала тоже аналогично нахождению медианы.

В интервальном вариационном ряду квартили внутри опреде­ленного по накопленным частотам интервала рассчитываются по следующим формулам:

Нижний квартиль Верхний квартиль

где х_о — нижняя граница квартальных интервалов;

i— величина интервала;

—сумма частот;

—накопленная частота интервала, предшествующего нижнему квартилю;

—накопленная частота интервала, предшествующего верхнему квартилю;

—частоты квартального интервала.

Формулы для децилей в интервальном вариационном ряду за­писываются следующим образом:

Пример. В табл. 11 дан интервальный ряд распределения 50 учащихся по росту. Определить верхний и нижний квартиль и первые два дециля. Таблица .11

Распределение 50 учащихся по росту в интервальном ряду

Рост, см х	Число учащихся	Накопленные частоты
160—165	3	3
165—170	7	10
170—175	16	26
175—180	10	36
180-185	9	45
185-190	3	48
190-195	2	50
ВСЕГО	50	-