5. Примеры решения 1 ГПЗ для случая, когда обе пересекающиеся фигуры общего положения

Алгоритм решения.

1.Прямую заключают во вспомогательную плоскость.

2.Строят линию пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью.

3.Линия пересечения с заданным отрезком прямой пересекаются, так как лежат в одной вспомогательной плоскости. Полученные точки (точка) пересечения и будут искомые.

Независимо от того, какая поверхность пересекается с отрезком прямой, метод решения всегда одинаков.

Пример 1 (рис. 6). Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а c октаэдром Σ.

Сначала надо начертить проекции определителя поверхности – направляющей ABCD и вершин E и F (рис. 6а). Затем построить проекции поверхности октаэдра Σ - проекции ребер, проходящих через вершины ломаной направляющей A,B,C,D и точки E и F (рис. 6б).

Видимость ребер можно определить визуально, без помощи конкурирующих точек. Вершина D, принадлежащая направляющей, расположена дальше других вершин этой же направляющей, значит, ребра FD и ED, проходящие через нее, будут относительно П2 невидимыми. Невидимыми относительно этой же плоскости проекций будут звенья направляющей AD и DC, а значит, и

грани АED, AFD, DEC, DFC.

17

Рис.6

18

Относительно П1 видимыми будут те ребра и грани, которые расположены выше направляющей ABCD – DEA, CED. BEC, AEB.

Решение

Отрезок прямой а заключим во фронтально – проецирующую плоскость Λ (а2 ≡ Λ2). Вспомогательная плоскость Λ пересечет поверхность октаэдра Σ. Линией их

пересечения m ,будет плоская ломаная линия. Так как Λ OO П2, следовательно, m2 Λ2.

Горизонтальную проекцию m построим по принадлежности ее октаэдру Σ, непроецирующей фигуре: точка 1 AF, значит, точка 11 А1 F1 ; точка

2 АВ 21 А1 В1 и т.д.

Определим видимость линии m относительно П1. Видимыми будут те участки ломаной линии m, которые лежат на видимых гранях ABE, BEC, CED.

Определим видимость пересекающихся фигур относительно друг друга.

Между точками М и N отрезок прямой на обеих проекциях невидимый, так как находится внутри поверхности Σ. Горизонтальная проекция отрезка до точки N1 видимая, потому что точка N лежит на видимой относительно П1 грани ВЕС. М1 – невидимая, значит, горизонтальная проекция а от М1 до А1D1 также невидимая, так как закрыта видимой гранью AED.

Видимость отрезка прямой относительно П2 определяется аналогично.

Пример 1(рис. 7). Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а с поверхностью тора Σ.

Сначала строим проекции поверхности тора Σ (рис.7б) и проекцииотрезка прямой а.

Решение

Отрезок прямой а заключаем в горизонтально – проецирующую плоскость Λ, Λ1 ≡ а1.

Вспомогательная плоскость Λ пересекает поверхность тора Σ. Линия пересечения этих фигур – плоская кривая m:

Σ ∩ Λ=m .

Так как Λ OO П1, следовательно, m1 Λ1.

19

Фронтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности Σ.

Построение любой кривой начинают с построения главных точек.

В данном примере главные точки: 1, 6 – оганичивающие кривую, 3 – высшая, 4 – определяющая границу видимости кривой m относительно П2. Остальные точки – промежуточные.

Фронтальные проекции большинства точек строим по принадлежности параллелям – окружностям, проекции которых на П2 вырождаются в отрезки прямых. Фронтальные проекции точек 1 и 6 строим по принадлежности линии обреза, точки 4 – по принадлежности очерковой образующей.

Высшая точка кривой при пересечении поверхности вращения с плоскостью лежит в осевом сечении поверхности, перпендикулярном секущей плоскости. Поэтому сначала выделяем точку 31 (см. рис. 7б) и при помощи окружности, касательной к Λ1 строим точку 32.

Видимость линии m относительно П2 определяем по принадлежности ее поверхности тора. Часть линии, проходящей через точки 1, 2, 3, и 4, будет видимой, так как лежит на видимой части поверхности.

Отрезок прямой а принадлежит Λ. Линия m также принадлежит Λ, следовательно, линия m пересекается с а в точках М и N, где М и N – искомые точки:

a Λ; m Λ a ∩ m = M, N

Определяем видимость пересекающихся фигур относительно П1 и П2 и относительно друг друга.

Между точками М и N отрезок прямой а на обеих проекциях будет невидимый. Относительно П1 эти точки видимые, значит, участки отрезка прямой, расположенные за ними будут видны. Относительно П2 точка М – видимая, значит, участок прямой до точки М2 также видимый, точка N – невидимая, участок прямой от N2 до очерковой образующей – невидимый, так как закрыт поверхностью тора.

21