4. Примеры решения 2ГПЗ для случая пересечения проецирующей и непроецирующей поверхностей.

Прежде чем решать задачи на пересечение поверхностей, надо определить количество линий пересечения и их характер.

Количество линий пересечения зависит от вида пересечения фигур: а) при проницании – две линии; б) б) при вмятии – одна линия;

в) в) при проницании с точкой касания – две линии с одной общей точкой. Характер линии пересечения зависит от того, какие поверхности пересекаются: а) две кривые поверхности – пространственная кривая линия;

б) кривая и многогранная поверхности – пространственная линия кривая, состоящая из нескольких плоских кривых (количество плоских кривых зависит от количества граней многогранной поверхности, пересекающихся с кривой поверхностью);

в) две многогранные поверхности – пространственная ломаная линия.

Независимо от того, какие поверхности пересекаются, алгоритм решения будет одинаковый, а именно:

1.Одна проекция линии (линий) пересечения задана на чертеже. Эта проекция принадлежит главной проекции проецирующей фигуры.

2.Вторая проекция линии (линий) пересечения определяется по принадлежности непроецирующей фигуре.

Таким образом, решение задач сводится к решению задач на принадлежность точек и линий поверхности.

11

12

Пример 1 (рис. 4). Построить линии (линию) пересечения поверхностей сферы Σ и цилиндра вращения Λ.

Сначала строим две проекции сферы и недостающую проекцию цилиндра вращения. Вид

Решение.

Поверхность цилиндра Λ - проецирующая относительно П1, следовательно, горизонтальные проекции двух пространственных кривых линий пересечения совпадают с горизонтальной

проекцией (главной проекцией) цилиндра m1 , m1 ≡ Λ1

Фронтальные проекции обеих линий строим по принадлежности поверхности сферы. Начинать построение фронтальных проекций линий пересечения следует с главных точек.

ближние и дальние; точки 5, 5 и 11, 11 как точки, лежащие на границе видимой и невидимой частей линий пересечения.

Для построения фронтальных проекций точек проводим окружности – параллели на поверхности сферы. Например, проводим окружность через точки 11 и 31. Горизонтальная проекция такой окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный оси сферы. Радиусом, равным половине этого отрезка, строим ее фронтальную проекцию, которая на П2 изображается в истинном виде. Точки 12 и 22 принадлежат этой окружности.

Аналогично строим проекции всех остальных точек (и характерных и промежуточных) на П2.

Соединять построенные точки нужно в той же последовательности, что и на горизонтальной плоскости проекций, плавной кривой линией с последующей лекальной обводкой.

Решая вопрос видимости искомых линий относительно каждой плоскости проекций, надо помнить, что линии пересечения принадлежат обеим поверхностям одновременно. Поэтому видимыми будут те участки линий, которые лежат в зоне видимости обеих поверхностей относительно данной плоскости проекций.

Относительно П2 в зоне видимых точек будут лежать точки 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5.

Участки кривых, лежащих между точками 5, 6 и 10, 11, находятся в области видимых точек поверхности сферы, но невидимых точек поверхности цилиндра, поэтому будут невидимыми.

Вывод. В данном примере определение видимости линий пересечения относительно П2 сводится к определению видимости точек на поверхности цилиндра.

13

14

Пример 2 (рис.5). Построить проекции линии (линий) пересечения поверхности эллипсоида вращения Σ с призматической поверхностью Λ.

После построения проекций поверхностей определяется вид пересечения. В данном примере вид пересечения – вмятие. Из этого следует, что линия пересечения – один замкнутый контур.

При пересечении эллипсоида одной плоскостью линией пересечения будет плоская кривая - эллипс или дуга эллипса. А так как поверхность призмы состоит из четырех граней, то линия пересечения ее с поверхностью эллипсоида вращения представляет собой пространственный контур из плоских кривых – дуг эллипсов.

Поверхность призмы фронтально – проецирующая, главная проекция ее – фронтальная проекция Λ2. Поэтому фронтальная проекция линии пересечения принадлежит Λ2:

поверхности Σ, эллипсоиду вращения, т.е. по принадлежности ряда точек линии m поверхности эллипсоида Σ. Рассмотрим построение одной из дуг эллипса, которая получается от пересечения грани cd с поверхностью эллипсоида вращения. Фронтальная проекция ее совпадает с фронтальной проекцией грани. Малая ось эллипса определяется точками А и В, которые на П2 являются пересечением продолжения грани cd с главным меридианом эллипсоида вращения.

Большая ось 3 - 3 ( на П2 ) вырождается в точку и делит отрезок АВ пополам. К главным точкам дуги эллипса относятся также точки, лежащие на экваторе, это точки 2 и 2 , а также точки пересечения ребер с и d с поверхностью – точки, ограничивающие дугу эллипса (1 и 1 , 5 и 5 ).

Горизонтальные проекции этих точек, а также любых промежуточных строим по принадлежности параллелям эллипсоида. Например, точки 5 и 5 лежат на параллели –

окружности, фронтальная проекция которой вырождена в отрезок прямой, равный диаметру этой параллели и перпендикулярный оси вращения i2, а горизонтальная проекция – окружность в истинном виде.

Линии пересечения остальных граней с поверхностью строим аналогично.

Определение видимости линии пересечения двух поверхностей относительно П1 в данном примере сводится к определению видимости точек на поверхности призмы. Две верхние грани призмы видимые, поэтому и линии, принадлежащие им, видимые.

15