21. Вариационное исчисление

Вариацио́нное исчисле́ние — это раздел функционального анализа, в котором изучаютсявариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, вдифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения (см. например Принцип наименьшего действия), как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике (см. Вариационные принципы). Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются следующие: 1. вариация (первая вариация), 2. вариационная производная (первая вариационная производная), 3. кроме первой вариации и первой вариационной производной, рассматриваются и вариации и вариационные производные второго и высших порядков.

Вариация

Аналогом дифференциала (первого дифференциала) является в вариационном исчислении вариация (первая вариация):

(как и в случае дифференциала имеется в виду линейная часть этого приращения, а выражаясь традиционным образом —  выбирается бесконечно малой, и при вычислении разности отбрасываются бесконечно малые высших порядков). При этом  — играющее роль дифференциала или малого приращения независимой переменной — называется вариацией .

Как видим,  сама в свою очередь является функционалом, так как она, вообще говоря, различна для разных  (также и для разных ).

Таким образом, это — в применении к функционалам — прямой аналог дифференциала функции конечномерного (в том числе одномерного) аргумента:

— точно так же понимаемого как линейная часть приращения функции  при бесконечно малом приращении аргумента  (или линейный член при разложении  по степеням вблизи точки ).

Производная по направлению

(Производная Гато) Производной функционала  в точке  по направлению , очевидно, будет

Этого в принципе уже достаточно для решения типичной вариационной задачи — нахождения «стационарных точек», то есть таких функций , для которых первая вариация или производная по направлению обращается в ноль для любой бесконечно малой  или любой конечной . Именно эти «точки» в пространстве функций — то есть именно такие функции — являются кандидатами в экстремали (проверку того, действительно ли они являются экстремалями, то есть достигается ли на них локальный экстремум, надо делать отдельно, как и в случае функций конечномерного аргумента; интересно, что во многих задачах физики важнее найти не экстремали, а именно стационарные точки).

Вариационная производная

Для интегральных функционалов, которые являются очень важным для математики и приложений случаем, можно ввести не только аналог дифференциала и производную по направлению, но и производную Фреше — аналог конечномерного градиента, называемую вариационной производной.

То есть, в полной аналогии с конечномерным случаем, когда

, где  — обозначение градиента (или производной Фреше) функции , а  — скалярное произведение;  — оператор частной производной по -той координате, сумма представляет собой полный дифференциал.

Для функционала имеем

, где  — обозначение вариационной производной , а суммирование конечномерной формулы естественно заменено интегрированием.

Итак,  — стандартное обозначение вариационной производной. Это также некая функция как от , так и  (вообще говоря, это обобщённая функция, но эта оговорка выходит за рамки рассмотрения, так как предполагается, что все функции и функционалы сколь угодно гладки и не имеют особенностей).

Иными словами, если можно представить вариацию

в виде

, где  — некоторая функция , то  есть вариационная производная  по  («по » здесь означает, что остальные аргументы или параметры не меняются; речевой оборот «по » можно опустить в случае, когда точно определено, функционалом от какой функции рассматривается , что на практике может быть не ясным из самой его формулы, в которую могут входить и другие параметры и функции — см. также ниже). То есть

Легко видеть, что это определение обобщается на любую размерность интеграла. Для -мерного случая верна прямо обобщающая одномерный случай формула:

Так же легко обобщается понятие вариационной производной на случай функционалов от нескольких аргументов[4]: