1.1.4. Расчёт и оформление потенциальной диаграммы

Потенциальная диаграмма является графиком, отражающим зависимость значений потенциала заданных точек цепи от сопротивления цепи, начиная от некоторой точки, обычно с нулевым потенциалом, но не обязательно.

Приведём пример оформления потенциальной диаграммы для одного контура (рис. 1.13), вырванного из сложной цепи, параметры элементов которой известны, а токи найдены.

Рассчитаем потенциалы всех пронумерованных точек. Направление обхода выбираем по часовой стрелке.

Рисунок 1.13

Введём в листинг исходные данные:

Определим координаты точек учитывая, что внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю.

Построим график в декартовой системе координат (рис. 1.14).

Рисунок 1.14

Нумерация точек наложена после переноса графика в программу Word.

1.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СистемЫ уравнений, составленнОЙ

по законам Кирхгофа

Состояние любой электрической цепи в любой момент времени определяется системой уравнений, составленной по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов, падений напряжений и ЭДС. В цепи с постоянными источниками мгновенные значения совпадают с постоянными значениями.

При составлении уравнений используют следующие правила. Число уравнений в системе должно быть равно числу неизвестных токов. Уравнения по первому закону Кирхгофа составляются для всех узлов электрической цепи, исключая один любой узел. Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров.

Для составления уравнений вводят условно положительные направления неизвестных токов, которыми задаются произвольно. В уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, втекающие в узел токи и вытекающие токи должны быть разного знака. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в независимых контурах задаются направлениями обхода. Условно положительные направления падений напряжений на пассивных участках электрической цепи совпадают с условно положительными направлениями токов. Знаки слагаемых определяют, сравнивая направления падений напряжений и ЭДС с направлением обхода. При совпадении направлений берут плюс, в противном случае берут минус.

Наиболее просто научиться составлять и использовать рассматриваемую систему уравнений на готовых примерах, которые приведены ниже.

Пример 1.6

На рис. 1.15 приведена электрическая цепь постоянного тока, которая содержит 8 ветвей с неизвестными токами, одну ветвь с источником тока и шесть узлов.

Рисунок 1.15

Для определения значений неизвестных токов надо составить систему из восьми уравнений, из них пять уравнений составляются по первому закону Кирхгофа, а три уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Направления неизвестных токов и направления обхода контуров выбраны произвольно.

Исключим нижний средний узел. В результате получим следующую систему уравнений.

(1.1)

Систему уравнений (1.1) запишем в матричной форме

, (1.2)

где в левой части уравнения первый сомножитель – квадратная матрица коэффициентов, второй сомножитель – столбцовая матрица неизвестных токов, а в правой части – столбцовая матрица соответствующих источников.

Указанные матрицы имеют следующий вид:

, ,.

Оформим листинг численного решения. Вначале зададимся исходными данными.

Оператор ORIGIN определяет значение индекса первого члена формируемых массивов. Для решения системы уравнений надо подготовить в листинге только матрицы А и В используя панель matrix.

Решение линейной системы уравнений находим с помощью следующего оператора:

Ответом является столбцовая матрица токов. Для компактности записи перейдём к строковой матрице с помощью оператора транспонирования.

Решение линейной системы уравнений может быть найдено и с помощью следующего матричного уравнения:

Ответом задачи определения неизвестных токов является величина и направление всех искомых токов. Так как направлениями токов мы задались произвольно, то минус в ответе говорит об ошибке в выборе направления. В данном примере направления первого и шестого токов надо изменить на противоположны данном примере направление первого и шестого токов надо изменить на противоположные.ке в выборе направления. тора транспонирове.

Убедимся в достоверности полученных значений токов. Для этого проверим баланс мощностей источников и приёмников в рассматриваемой электрической цепи.

Найдём значение мощности, отдаваемой источниками. Уравнение составим по исходной схеме цепи с произвольно выбранными направлениями токов, а токи возьмём с полученными выше знаками.

Сумма в круглых скобках даёт напряжение на зажимах источника тока.

Найдём значение суммарной мощности, рассеиваемой резисторами.

Баланс мощностей выполняется. Последнее уравнение получилось компактным, так как использовались массивы сопротивлений и токов с согласованными индексами. В предыдущем уравнении индексы не согласованы, поэтому потребовалась развёрнутая запись.

При анализе сложных электрических цепей возникают трудности на этапе выбора независимых контуров. Устранить их можно, если использовать для составления уравнений направленный граф цепи. В этом случае система уравнений в матричной форме принимает следующий вид.

, (1.3)

где А – прямоугольная матрица соединений, В – прямоугольная матрица контуров, R – диагональная матрица сопротивлений ветвей, Е – матрица столбец ЭДС ветвей, J – матрица столбец источников тока, О – матрица столбец нулей.

Матричное уравнение объединяет уравнения, составленные по первому и второму законам Кирхгофа. Знаки элементов матриц определяются исходя из условно положительных направлений, указанных на обобщённой ветви (рис. 1.16), и направлений ветвей графа. Предварительно из электрической цепи исключаются вырожденные ветви с помощью соответствующих эквивалентных преобразований (расщепление узлов и расщепление ветвей).

Рисунок 1.16

Рассмотрим методику составления и решения матричного уравнения (1.3) на следующем примере.

Пример 1.7

На рис. 1.17 приведена исследуемая электрическая цепь.

Рисунок 1.17

На рис. 1.18 приведён направленный граф данной цепи с произвольно выбранными направлениями ветвей. На рис. 1.19 приведено одно из возможных деревьев графа.

Рисунок 1.18 Рисунок 1.19

Подготовим листинг для решения данной задачи. Составим матрицы соединений и контуров, используя следующие правила.

Строки матрицы соединений соответствуют узлам графа за исключением нулевого узла. Столбцы соответствуют ветвям графа. Элементы матрицы равны: нулю, если данная ветвь не соединена с данным узлом; единице, если данная ветвь соединена с данным узлом и направлена от узла; минус единице, если данная ветвь соединена с данным узлом и направлена к узлу.

Строки матрицы контуров соответствуют связям дерева графа. Столбцы соответствуют ветвям графа. Элементы матрицы равны нулю, если данная ветвь не входит в контур, образованный данной связью; равны единице, если данная ветвь входит в контур, образованный данной связью, и направление её совпадает с направлением обхода контура, который берётся по направлению связи; равны минус единице, если данная ветвь входит в контур, образованный данной связью, а направление её не совпадает с направлением обхода контура.

Для графа (рис. 1.18) матрицы соединейний и контуров имеют следующий вид:

Зададимся параметрами элементов электрической цепи.

Подготовим диагональную матрицу сопротивлений ветвей.

Подготовим матрицы источников и матрицу нулей.

В системе уравнений используются столбцовые матрицы. Для компактности записи использовались строковые матрицы и оператор транспонирования.

Левую и правую части матричного уравнения (1.3) получим с помощью оператора слияния матриц по вертикали.

Найдём решение полученной системы линейных уравнений.

Чтобы убедиться, что токи найдены правильно, проверим баланс мощностей источников и приёмников электрической энергии в заданной цепи. Предварительно найдём токи в ветвях, содержащих резисторы, и напряжения на обобщённых ветвях.

При определении напряжений использован оператор векторизации. Этот оператор предназначен для работы с массивами. Он берётся с панели Matrix и позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива.

Найдём отдельно мощности источников ЭДС и источников тока, и суммарную мощность всех источников.

Найдём мощность, рассеиваемую резисторами электрической цепи.

Баланс мощностей выполняется.

Токи в резисторах R11 и R12 обратно пропорциональны их сопротивлению. Найдём их по формулам разброса подтекающего к узлу тока.

Остальные токи в ветвях с резисторами найдены выше и имеют следующие значения:

Знаки полученных токов позволяют указать на схеме электрической цепи их реальное направление. Погрешность суммы токов в резисторах R11 и R12 по сравнению с током Ir₉ объясняется ограниченным количеством разрядов числа, выводимого на экран монитора. Точные значения можно получить следующим образом:

Необходимый оператор (стрелка) берётся с панели Symbolic.

В задачах анализа линейных электрических цепей система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, используется редко из-за её громоздкости. В основном используют метод контурных токов или метод узловых потенциалов, которые позволяют составить более компактные системы уравнений. Рассмотрим использование этих методов в следующих разделах.

Результаты вычислений можно выводить в виде таблиц и в виде матриц. Для этого надо по траектории Format, Result Format, Display Options, Matrix display style установить Table либо Matrix. В противном случае программа выбирает стиль самостоятельно.

1.3. Использование метода контурных токов

В основе метода контурных токов лежит принцип суперпозиции. Задача анализа электрической цепи решается в два этапа. На первом этапе находят условные контурные токи, которые протекают в независимых контурах цепи. На втором этапе находят реальные токи в ветвях как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов, протекающих в этих ветвях.