1. Анализ линейных электрических цепей

С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННОЙ ЭДС И ПОСТОЯННОГО ТОКА

Электрические цепи являются схемами замещения реальных электротехнических устройств. В линейных электрических цепях с источниками постоянной ЭДС и источниками постоянного тока в установившемся режиме протекают постоянные токи. В рассматриваемом режиме отсутствует влияние на токи индуктивных и емкостных элементов, поэтому указанные цепи содержат только источники и резисторы. Состояние электрической цепи определяется законами Кирхгофа.

Рассмотрим основные методы анализа электрических цепей при постоянных токах с использованием численных решений.

1.1. Использование метода свёртки

Метод свёртки используется при определении значений неизвестных токов в электрических цепях с одним источником электрической энергии или при определении частичных составляющих неизвестных токов методом наложения. Операция свёртки пассивной части электрической цепи позволяет найти эквивалентное сопротивление цепи, которое является потребителем электрической энергии источника, а затем определить ток через источник ЭДС. После этого находят все остальные неизвестные токи в ветвях электрической цепи, постепенно разворачивая её к исходной схеме.

При свёртке используют эквивалентные преобразования пассивной цепи. Например, замена последовательного соединения резисторов одним эквивалентным; замена параллельного соединения резисторов одним эквивалентным; эквивалентные замены треугольника трёхлучевой звездой и трёхлучевой звезды треугольником.

1.1.1. Преобразования пассивных электрических цепей

Пример 1.1

На рис. 1.1 показана ветвь с последовательным соединением резисторов. Через все резисторы течёт один и тот же электрический ток. Это следует из принципа непрерывности электрического тока.

Рисунок 1.1

Из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для данной ветви:

следует, что эквивалентное сопротивление ветви равно сумме сопротивлений резисторов. Определение эквивалентного сопротивления ветви, например с тремя известными резисторами, в среде MathCAD оформляется следующим образом:

Индексация резисторов заставляет программу формировать массив данных в виде столбцовой матрицы. По умолчанию первый член массива имеет нулевой индекс (). В этом случае в столбце R появится первый член, равный нулю (смотри следующий пример). Его можно исключить, изменив индекс первого члена массива указанным выше образом. Использование массива данных позволяет оформить описание операции суммирования компактным образом.

Пример 1.2

На рис. 1.2 показано параллельное соединение резисторов между двумя узлами. Напряжение на всех резисторах одинаковое.

Рисунок 1.2

Из уравнения, составленного по первому и второму законам Кирхгофа для данной цепи:

следует, что эквивалентная проводимость всех ветвей равна сумме проводимостей отдельных ветвей. Определение эквивалентного сопротивления данного участка цепи, например с четырьмя заданными резисторами (360, 410, 530, 430), оформляется следующим образом:

Отсутствующему в массиве исходных данных элементу G₀ программой присвоено значение ноль.

Пример 1.3

На рис. 1.3 показано эквивалентное преобразование соединения резисторов треугольником в соединение трёхлучевой звездой и наоборот. Условие эквивалентности цепей требует неизменности токов, подтекающих к узлам и неизменности напряжений между узлами. Чтобы выполнить условие эквивалентности необходимо пересчитывать сопротивления резисторов [1, 3].

Рисунок 1.3

Во многих случаях без данного преобразования нельзя выполнить свёртку сложной пассивной электрической цепи к одному эквивалентному резистору.

Определение сопротивлений резисторов после преобразования осуществляется по известным формулам. Например, даны сопротивления ветвей треугольника. Определим сопротивления ветвей эквивалентной звезды. Это оформляется следующим образом:

Если даны сопротивления ветвей звезды, то расчёт сопротивлений ветвей треугольника оформляется следующим образом:

В последних примерах формирование массивов данных не требуется, поэтому для обозначения резисторов используются строчные цифры.