4.(1 − cos 0, 3π) + i (1 − sin 0, 3π).

Д5. Полуплоскость справа от прямой y = 1 + 3x.

Указание: 2i (x − sin x) = (1 + ix − eix) + (e−ix − 1 + ix). Интеграл распадается на два; для одного контур замкнуть вверх, для другого вниз.

г) πe (1 − 0, 5e−1). Указание: использовать ответ к Д 8(в).

1.2 Многозначные аналитические функции

1.2.1 Регулярные ветви

Для работы с многозначной функцией надо найти её точки ветвления, провести разрезы на комплексной плоскости и выбрать ветвь функции.

Точка z = a называется точкой ветвления функции f(z), если существуют окружности сколь угодно малого радиуса c центром в этой точке, после обхода по которым получается новое значение функции, отличное от исходного. Например, z = 0 есть точка ветвления функции f(z) = √z, понимаемой как f(z) = |z|1/2eiφ/2, где φ = arg z + 2kπ, причем arg z меняется непрерывно при непрерывном движении точки z по плоскости, а целое число k постоянно.

Разрез – это линия, которую не может пересекать переменная точка z при её перемещениях на плоскости. Разрезы дополняют границу области задания функции, запрещая обход точек ветвления. Общий способ проведения разрезов – соединить непрерывными линиями точки ветвления с точкой z = ∞. Иногда возможны другие виды разрезов: например, если обход вокруг пары точек ветвления приводит к исходному значению функции, то можно просто соединить эти точки конечным разрезом.

Правило, задающее многозначную функцию, вместе с дополнительными условиями позволяет вы-

√

делять ветви этой функции, однозначные и регулярные на плоскости с разрезами. Так, для w(z) = z

можно провести разрез по лучу y = 0, x ≤ 0 и задать две ветви формулой w(z) = |z|1/2ei( φ2 +kπ), где −π < φ < π, k = 0 или 1. Дополнительному условию w(1) = +1 отвечает k = 0, и получается формула

w = |z|1/2eiφ/2; для этой ветви, например, w(4) = 2e0 = +2, w(i) = ei π4 . Если задать w(1) = −1, то получится k = 1, тогда w(4) = 2eiπ = −2, w(i) = ei π4 +iπ = −ei π4 .

Каждый разрез имеет два "берега", что соответствует предельным значениям функции при приближении точки z к разрезу с той или другой стороны. Так, у каждой из ветвей функции √z значения на двух берегах разреза, проведённого по лучу (−∞, 0], отличаются знаком, так как предельные значения угла равны +π и −π.

Для изучения точек ветвления функции и для проведения разрезов полезно использовать принцип аргумента. Например, если один раз обойти вокруг пары точек ak = kπ и bk = (k + 12 )π, то приращение

23

аргумента tg z будет равно нулю, так как N − P = 0, и для многозначной функции ln tg z можно провести счётное множество конечных разрезов, соединяющих попарно точки ak и bk.

2.1. Найти точки ветвления и провести разрезы для следующих функций:

2.3. Ветвь функции f(z) = ln ii−+zz задана условием f(0) = 0. Проводя разрезы двумя различными способами, найти значения функции в заданных точках:

а) z = 1; б) z = −1; в) z = 2i; г) z = +∞; д) z = −∞.

Указание. f(z) = ln |f(z)| + i (φ1 − φ2), где φ1 = arg (i − z) и φ2 = arg (i + z). Полезно составить таблицу значений этих углов для заданных точек z.

2.4. Главная ветвь функции ln z на плоскости с разрезом по лучу y = 0, x < 0 может быть задана как интеграл

Показать, что для этой ветви имеют место:

а) формула ln z = ln |z| + iφ, где φ = arg z, −π < φ < π;

б) разложение в ряд Тейлора ln (1 + z) = z − 12 z2 + 13 z3 − ..., |z| < 1.

Указания. К заданию (а): интегрировать сначала по вещественному отрезку [ 1, |z| ], затем по дуге |ζ| = |z|, 0 < arg ζ < arg z. К заданию (б): воспользоваться геометрической прогрессией при |z| < 1.

2.5. Разложить в ряд по степеням z функцию f(z) и указать область сходимости ряда, если:

.√

p

2.9.Разложить функцию f(z) = z(2 − z), f(1) = 1, в ряд Лорана в окрестности указанной точки

иуказать область сходимости ряда:

а) z = 1; б) z = ∞.

2.10. Методом неопределённых коэффициентов найти несколько первых коэффициентов разложения заданной функции в ряд Лорана в окрестности z = 0:

24

2.11.Разложить в ряд Лорана: а) в окрестности точки z = ∞, б) в кольце 1 < |z| < 2, ту ветвь функции f(z) = z−1 2 ln zz−+ii , для которой ln zz−+ii → 0 при z → ∞.

2.12.Выяснить, имеют ли указанные многозначные функции однозначные ветви, допускающие раз-

ложение в ряд Лорана в окрестности данной точки:

q√

в) 1 + z, z = 1; г) Arcsin z, z = 0; д) Arctg z, z = ∞.

2.13. Как связаны между собой значения f(x + i0) и f(x − i0) функции f(z) = zp(1 − z)1−p, где Im p = 0, на двух берегах разреза по отрезку [0, 1] ?

1.2.2 Римановы поверхности

Каждая ветвь многозначной функции определена на своём листе, т.е. на своём экземпляре комплексной плоскости с разрезами (листы могут иметь различный вид для разных ветвей). Многолистная риманова поверхность должна быть "склеена"(coставлена) из этих листов таким образом, чтобы при переходе через места склейки значения одной из ветвей непрерывно переходили к значениям другой ветви. Следует склеивать, например, нижний берег листа одной ветви с верхним берегом листа другой ветви, с учётом непрерывного перехода этих ветвей. Для степенной функции zb, где b – рациональное число, получается конечное число листов, для логарифма z и для иррациональной степени z – счётное множество листов.

2.14. Показать, что риманова поверхность функций ln z и zπ имеет вид бесконечной винтовой поверхности с осью z = 0.

√

2.15. Как для функции 3 z склеивать берега разрезов, проведённых по положительной вещественной полуоси?

2.16. Плоскость z разрезана по отрезку [0, 1]. Как склеивать берега разрезов для функций: а)

pp

z(z − 1)? б) 3 z2(z − 1)?

√

2.17. Для изучения двузначной функции sin z проведены разрезы из точек ветвления параллельно

мнимой оси в сторону Im z = +∞. Как следует склеивать берега разрезов 1-го и 2-го листа? Анало-

√

гичный вопрос относительно функции 3 sin z.

Указание: применить принцип аргумента.

2.18. Функция q√z − 1 четырёхзначна. Дать описание каждого листа. Как склеивать листы для построения римановой поверхности?

1.2.3 Интегралы от многозначных функций

∞

Определенные интегралы вида R xpf(x) dx, где p – вещественное не целое число, f(x) – рациональная

0

функция, можно вычислять с помощью вычетов. Пусть f(x) = QP ((xx)) , P (x) и Q(x) – полиномы, причем степень полинома P (x) меньше степени полинома Q(x), −1 < p < 0, и Q(x) 6= 0 при x ≥ 0. Тогда имеет место формула

Здесь a1, a2, ...as – корни полинома Q(z), а функция zp определена на плоскости z с разрезом 0 ≤ x <

+∞, y = 0, формулой zp = |z|peipφ, где φ = arg z, 0 < φ < 2π.

Замечание. Для доказательства формулы ( ) следует рассмотреть интеграл H zpf(z) dz по замкнутому кон-

туру , состоящему из отрезка [ , R] верхнего берега разреза (движение слева направо), окружности радиуса R

25

(проходимой против часовой стрелки), отрезка нижнего берега разреза [, R] (движение справа налево) и окружности радиуса (по часовой стрелке). Далее надо сделать предельный переход при → 0, R → ∞.

Если на полуоси x > 0, y = 0 имеются простые нули полинома Q(z), то интеграл понимается в смысле главного значения, при этом каждый простой нуль b добавляет к сумме вычетов в формуле ( ) слагаемое

1

Интегралы вида R x1−p(1 − x)pf(x)dx сводятся к интегралам вышеуказанного типа подстановкой

0

x = t/(1 + t).

В задачах (2.19) – (2.28) вычислить интегралы:

∞

R

Интегралы вида f(x) dx, где f(x) – рациональная функция, можно вычислять с помощью выче-

0

тов. Пусть f(x) = QP ((xx)) , P (x) и Q(x) – полиномы, причем степень полинома P (x) по крайней мере на 2 меньше степени полинома Q(x), и Q(x) 6= 0 при x ≥ 0. Тогда имеет место формула

Z∞ s

X

f(x) dx = − res z=ak f(z) ln z. ( )

0k=1

Здесь a1, a2, ...as – корни полинома Q(z), а функция ln z определена на плоскости z с разрезом 0 ≤ x < +∞, y = 0, формулой ln z = ln |z| + iφ, где φ = arg z, 0 < φ < 2π.

H

Замечание. Для доказательства формулы ( ) следует рассмотреть интеграл f(z) ln z dz по замкнутому

контуру , описанному выше.

2.29. Вычислить интегралы:

Указание к (а). Рекомендуется сделать вычисление тремя способами: (1) найдя первообразную, (2) сведя интеграл к интегралу по всей оси, (3) по формуле ( ).

Ответы.

2.1. Сокращение: т.в.=точки ветвления. Для каждой из заданных функций указывается один из возможных способов проведения разрезов:

а) т.в. i и ∞, разрез по лучу arg (z − i) = π/2; б) т.в. 1 и ∞, разрез по лучу arg z = 0; в) т.в. 0 и −1, разрез по отрезку [−1, 0];

г) т.в. 0 и 2, разрез по отрезку [0, 2];

д) т.в. 0, 2 и ∞, разрез по лучам y = 0, x < 0 и y = 0, x > 2;

26

е) т.в. 0 и 1, разрез по лучам y = 0, x < 0 и y = 0, x > 1;

ж) т.в. kπ, k = 0, ±1, ..., разрезы по лучам arg (z − kπ) = π/2 или по отрезкам [kπ, (k + 1)π];

з) т.в. (k + 0, 5)π, разрезы по лучам arg (z − (k + 0, 5)π = π/2.

2.2.Во всех случаях |f(z)| = |z + 1|1/3, −π < φ < π: а) f(z) = |f(z)|e3i φ, f(26) = 3;

б) f(z) = |f(z)|e3i (φ−2π), f(26) = 3e−2πi/3; в) f(z) = |f(z)|e3i (φ+2π), f(0) = e2πi/3;

г) f(z) = |f(z)|e3i (φ−2π), f(0) = e−2π/3; д) f(z) = |f(z)|e3i φ, f(i) = √6 2eiπ/12.

2.3.f(z) = ln |i − z| − ln |i + z| + i (φ1 − φ2), φ1 = arg (i − z), φ2 = arg (i + z). 1-й способ проведения разрезов: по лучам x = 0, y < −1 и x = 0, y > 1.

а) φ1 = 3π/4, φ2 = π/4, f = iπ; б) φ1 = π/4, φ2 = 3π/4, f = −iπ;

в) z = 2i + i0 : φ1 = 3π/2, φ2 = π/2, f = − ln 3 + iπ; z = 2i − i0 : φ1 = −π/2, φ2 = π/2, f =

− ln 3 − iπ;

г) φ1 = π, φ2 = 0, f = iπ; д) φ1 = 0, φ2 = π, f = −iπ.

2-й способ проведения разрезов: по отрезку x = 0, −1 < y < 1.

а) φ1 = 3π/4, φ2 = π/4, f = iπ; б) φ1 = π/4, φ2 = 3π/4, f = −iπ; в) z = 2i : φ1 = 3π/2, φ2 = π/2, f = − ln 3 + iπ;

г) φ1 = π, φ2 = 0, f = iπ; д) φ1 = 0, φ2 = −π, f = iπ.

∞

2.5. а) Разрезы по лучам y = 0, −∞ < x < −1 и y = 0, 1 < x < +∞, f(z) = 1+ P (2n−1)!! z2n, |z| <

n=1

n!2n

1;

б) разрез по лучу y = 0, 1 < x < +∞, f(z) = −1 − (1 + 12 )z − (12 + 13 )z2 − (13 + 14 )z3 − ..., |z| < 1.

Формула ln(1 − z) = ln |1 − z| + iφ, −π < φ < π, φ = arg (1 − z), получается с помощью значения функции в точке z = −2. Из этой формулы следует, что f(0) = 1.

2.9. а) Разрезы по лучам y = 0, x < 0 и y = 0, x > 2, тогда f(z) = 1 − 12 t2 − 2212! t4 + 213·3!3 t6 − ..., |t| < 1, где t = z − 1;

б) разрез можно провести, например, в виде дуги, соединяющей точки z = 0 и z = 2 и проходящей ниже точки z = 1, тогда формула для ветви будет f(z) = (−iz)w(z), где w(z) = (1 − z2 )1/2, причем w(∞) = +1;

27