Если точка x0 наибольшего значения фазовой функции совпадает с левым или правым концом промежутка, причем S0(x0) = 0 и S00(x0) < 0, то

6.22. Получить асимптотическое представление для интеграла

3

R xe2x+λ sin xdx: а) при λ → +∞; б) при λ → −∞.

0

2

6.23. Для функции F (λ) = R 2+1x eλ(x3−3x) dx найти главный член асимптотики при λ → +∞.

−1

Указание. Асимптотика определяется вкладами от обоих концов промежутка, причем на левом конце при-

4.3 Асимптотика интегралов типа Фурье

Рассматриваются интегралы вида

a

где [a, b] – конечный вещественный промежуток, функции f(x) – амплитуда и S(x) – фаза принадлежат классу C∞[a, b], причем функция S(x) вещественна. Задача состоит в получении асимптотики функции F (λ) при λ → +∞.

Замечание: в частном случае, когда S(x) = x, интеграл (9) есть преобразование Фурье функции f(x), продолженной нулём вне промежутка [a, b].

Стационарными точками функции S(x) называются точки, в которых S0(x) = 0. В отличие от интегралов типа Лапласа, основной вклад в асимптотику интегралов типа Фурье (9) дают окрестности всех стационарных точек фазовой функции, а также обоих концов промежутка.

4.3.1 Монотонная фазовая функция

Пусть функция S(x) монотонна, причем S0(x) 6= 0, x [a, b]. Интегрируя по частям, получаем равенство

86

где f0(x) = f(x), fn+1(x) = − d fn(x) , n = 0, 1, 2, ....

dx S0(x)

Cоотношение (10) можно записать в виде бесконечного асимптотического разложения:

В отличие интегралов типа Лапласа, формула (11) непригодна в случае немонотонной фазовой функции S(x).

−3

приближенно найти корни уравнения F (λ) = 0 при λ 1.

0

6.29. Для функции F (λ) = R (x+x2)eiλ(2x+cos x)dx найти главный член асимптотики при λ → +∞.

−1

4.3.2 Немонотонная фазовая функция

1. Пусть x0 – единственная на всём промежутке [a, b] стационарная точка функции S(x), и эта точка лежит внутри (a, b), т.е. S0(x0) = 0, a < x0 < b. Будем считать эту точку невырожденной: S00(x0) 6= 0. Тогда интеграл типа Фурье (9) имеет при λ → +∞ асимптотическое представление

Более точная формула учитывает вклад обеих концевых точек промежутка:

Если невырожденная стационарная точка x0 совпадает с левым или правым концом промежутка, то её вклад описывается формулой (12) с коэффициентом 1/2.

2. Если внутри промежутка находятся стационарные точки xj, j = 1, ..., p, то асимптотика интеграла Фурье описывается формулой вида (13), где вместо одного слагаемого, соответствующего точке x0, следует написать сумму:

Примечание. Вышеописанный способ построения асимптотики интегралов типа Фурье называют иногда "метод стационарной фазы".

а) получить асимптотику с погрешностью O(λ−3/2) при λ → +∞ и при λ → −∞; б) найти приближенно корни уравнения F (λ) = 0 при λ 1.

π

6.31. Найти главный член асимптотики функции F (λ) = R xeiλ sin xdx при λ → ±∞.

0

87