Примечание. Ряд для логарифма, как и для бинома при нецелом показателе степени, сходится к главной ветви функции: (1 + z)µ = 1, ln(1 + z) = 0 при z = 0.

Разложить данные функции в степенной ряд в окрестности точки z = 0 и указать область сходимости:

1.36. ax1+b , b 6= 0.

1.41. Разложить функции в ряд в окрестности точки z = 1 и указать область сходимости:

1.42. Найти несколько первых членов разложения функций в ряд по степеням z:

√

a) f(z) = ez sin z; б) tg z; в) f(z) = cos z, f(0) = 1.

Указание: полезно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов.

1.43. Доказать, что коэффициенты cn разложения

∞

1 − z1− z2 = X cnzn

n=0

удовлетворяют соотношению cn+2 = cn+1 + cn при n ≥ 0. Найти cn и радиус сходимости ряда.

Примечание. Числа cn называются числами Фибоначчи (учёный-монах Фибоначчи жил в начале 13-го века).

B0 = 1, Cn0+1B0 + Cn1+1B1 + ... + Cnn+1Bn = 0.

1.46. Разложить в ряд по степеням z функцию z ctg z и найти радиус сходимости полученного ряда.

Указание. Воспользоваться вытекающим из формул Эйлера равенством z ctg z = iz + 2iz .

exp(2iz)−1

1.47. Найти сумму ряда:

1.1.4 Интеграл по контуру на комплексной плоскости

Пусть функция f(z) непрерывна на контуре γ, у которого A – начальная точка и B – конечная точка. Интеграл по контуру γ от функции f(z) – это предел при n → ∞ интегральной суммы:

9

Здесь zk = zk − zk−1; z1, z2, ..., zn−1 – точки, которыми контур γ разделён на n частей; z0 = A, zn = B; ζk – произвольно выбранные точки на участке контура между точками zk−1 и zk; max | zk| → 0 при n → ∞. Предел (?) не зависит от способа разбиения контура и выбора точек ζk.

Интеграл (?) выражается через вещественные криволинейные интегралы 2-го рода от вещественной части u(x, y) и мнимой части v(x, y) функции f(z):

Z Z Z

f(z) dz = u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy.

γ γ γ

Имеют место оценки:

ZZ

|f(z) dz| ≤ |f(z)| dl ≤ M · l,

γγ

p

где dl = dx2 + dy2 – элемент длины дуги контура, M – максимум модуля функции f(z) на контуре, l

– длина контура.

H

Интеграл по замкнутому контуру обозначают символом f(z)dz. В задачах 1.48б – 1.50 направ-

γ

ление движения по контуру – положительное (против часовой стрелки).

RR

1.48. Вычислить интегралы I1 = x dz, I2 = y dz по следующим контурам:

γγ

1.1.5 Ряд Лорана. Особые точки функции

Функция, регулярная в кольце r < |z − a| < R, может быть разложена в ряд Лорана:

+∞

f(z) = X cn(z − a)n.

k=−∞

Ряд сходится внутри кольца (притом абсолютно), а во всяком меньшем замкнутом кольце r < r1 ≤ |z− a| ≤ R1 < R сходится равномерно. Ряд можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать. Для коэффициентов ряда имеет место формула:

где r < ρ < R, и окружность |z − a| = ρ пробегается в положительном направлении.

Замечание. На практике эта формула для коэффициентов почти никогда не используется; обычно разложение конкретной функции в ряд Лорана сводится к разложениям в ряды Тейлора.

Лорана в окрестности точки a. Коэффициент c−1 называется вычетом функции в точке a; вычет обозначается res z=af(z) или res {f(z); a}.

Множество всех комплексных чисел Cz = {z} называется конечной плоскостью z. Преобразование w = 1/z взаимно-однозначно связывает конечные плоскости Cz = {z} и Cw = {w}, за исключением точек z = 0 и w = 0. Бесконечно удаленная точка w = ∞ вводится как образ точки

10

z = 0 (соответственно z = ∞ – как образ w = 0). Конечная плоскость Cz, дополненная точкой z = ∞, называется расширенной плоскостью z.

бесконечности. Вычет на бесконечности определяется формулой res z=∞f(z) = −c1.

В задачах 1.51 – 1.58 требуется разложить данную функцию в окрестности указанной точки или в

1.58. Выяснить, допускают ли указанные функции разложение в ряд Лорана в окрестности данной

Пусть функция f(z) определена и регулярна в проколотой окрестности точки z = a, a 6= ∞, т.е. в кольце 0 < |z − a| < r, и не определена в самой точке a. Точка a называется особой точкой функции. Особые точки могут быть трёх типов: устранимая особая точка (у.о.т.), полюс и существенно особая точка (с.о.т.).

Точка a – устранимая особая точка, если существует конечный предел b = lim f(z). Доопределяя

z→a

в у.о.т. функцию её пределом b, получаем функцию, регулярную во всём круге |z − a| < r. На практике обычно устранимые особые точки считают точками регулярности функции.

Точка a – полюс функции, если lim f(z) = ∞. Точка a – существенно особая точка, если у функции

z→a

нет ни конечного, ни бесконечного предела.

Вид ряда Лорана в окрестности особой точки функции:

а) если a – у.о.т., то ряд Лорана не содержит отрицательных степеней разности (z − a), т.е. f(z) = c0 + c1(z − a) + c2(z − a)2 + ...;

б) если a – полюс, то ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней разности (z −

здесь число m – кратность (или порядок) полюса;

11

в) если a – c.о.т., то ряд Лорана содержит бесконечное множество отрицательных степеней разности (z − a):

Сумма членов ряда с отрицательными степенями (z − a) называется главной частью разложения.

Пусть функция f(z) определена и регулярна в проколотой окрестности точки z = ∞, т.е. в кольце

R < |z| < ∞.

Если существует конечный предел b = lim f(z), то z = ∞ – у.о.т.; если lim f(z) = ∞, то z = ∞ –

полюс; если у функции нет ни конечного, ни бесконечного предела, то ∞ – существенно особая точка.

Вид ряда Лорана в окрестности бесконечности:

а) если ∞ – у.о.т., то ряд Лорана не содержит положительных степеней z, т.е. f(z) = c0 + c−z1 +

c−2 + ...;

z2

б) если ∞ – полюс, то ряд Лорана содержит конечное число положительных степеней z:

f(z) = mzm + ... + c1z + c0 + c−z1 + cz−22 + ...;

здесь число m – кратность (порядок) полюса;

в) если ∞ – c.о.т., то ряд Лорана содержит бесконечное множество положительных степеней z:

f(z) = ... + cz−22 + c−z1 + c0 + c1z + c2z2 + ...

Сумма членов ряда с положительными степенями z называется главной частью разложения.

В задачах 1.60 – 1.62 указать особые точки функций (включая бесконечно удалённую точку), и выяснить их характер.

1.63. Построить примеры функций, имеющих в расширенной плоскости только следующие особенности:

а) полюс 2-го порядка на бесконечности; б) полюс 2-го порядка в точке z = 0 с главной частью разложения c−2z−2 и простой полюс на бесконечности.

1.64.Найти общий вид функции, имеющей в расширенной плоскости только следующие особенно-

сти:

а) один простой полюс; б) один полюс порядка n; в) полюс 2-го порядка в точке z = 0 с главной частью разложения 1/z2; г) n полюсов первого порядка.

1.65.Доказать, что:

а) функция, регулярная во всей конечной плоскости и ограниченная на бесконечности, есть постоянная (теорема Лиувилля);

б) функция, регулярная во всей конечной плоскости и имеющая в точке z = ∞ полюс порядка m, есть полином степени m;

в) функция, не имеющая в расширенной плоскости никаких особых точек, кроме полюсов, есть рациональная функция.

12