- •1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1.1 Однозначные регулярные функции
- •1.1.1 Комплексные числа
- •1.1.4 Интеграл по контуру на комплексной плоскости
- •1.1.5 Ряд Лорана. Особые точки функции
- •1.1.6 Вычеты и их применение
- •1.1.7 Принцип аргумента. Теорема Руше
- •1.2 Многозначные аналитические функции
- •1.2.1 Регулярные ветви
- •1.2.2 Римановы поверхности
- •1.2.3 Интегралы от многозначных функций
- •1.3 Конформные отображения
- •1.3.1 Дробно-линейная функция
- •1.3.3 Функция Жуковского
- •1.3.5 Интеграл Кристоффеля-Шварца
- •1.3.6 Применение конформных отображений в электростатике
- •2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
- •2.1 Пространство K основных функций
- •2.2 Пространство S основных функций
- •2.3 Регулярные и сингулярные обобщённые функции
- •2.4 Действия с обобщёнными функциями
- •2.5 Локальное поведение обобщённых функций
- •2.6 Основные и обобщённые функции многих переменных
- •2.8 Свёртка
- •2.9.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.9.2 Уравнения с частными производными
- •2.10 Фундаментальные решения
- •2.11 Преобразование Фурье
- •2.11.1 Дополнение
- •3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- •3.1 Классификация уравнений 2-го порядка
- •3.2.1 Две независимых переменных
- •3.3 Три или четыре независимых переменных
- •3.4 Метод Даламбера для уравнения колебаний струны
- •3.4.1 Неограниченная струна
- •3.4.2 Ограниченная струна
- •3.5 Метод разделения переменных. Специальные функции
- •3.5.1 Цилиндpические функции
- •3.5.2 Сфеpические функции
- •4 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Понятие асимптотического разложения
- •4.1.1 О-символика. Асимптотическая последовательность
- •4.1.2 Асимптотическое разложение функции
- •4.2 Асимптотика интегралов типа Лапласа
- •4.2.1 Монотонная фазовая функция
- •4.3 Асимптотика интегралов типа Фурье
- •4.3.1 Монотонная фазовая функция
- •4.3.2 Немонотонная фазовая функция
- •4.4 Асимптотика кратных интегралов типа Фурье
- •4.5 Метод перевала
- •5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
- •5.1 Построение решений с помощью рядов
- •5.1.1 Неособые точки уравнения
- •5.1.2 Регулярная особая точка уравнения
4.56. Проверить, что функция U при t > 0 есть решение волнового уравнения |
∂2U |
= a2 |
U: |
||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
а) U(x, t) = |
1 |
θ(at − x)θ(at + x); |
|
|
|
|
|
||||||||||
2a |
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) U(x, y, t) = |
1 |
|
(a2t2 − x2 − y2)−1/2θ(at − r), r = |
|
|
; |
|
||||||||||
x2 |
+ y2 |
|
|||||||||||||||
2πa |
|
||||||||||||||||
в) U(x, y, z, t) = |
1 |
|
δ(r |
|
at), r = |
|
. p |
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
x2 + y2 + z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
4πa2t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||
Указание. По определению, обобщённая функция δ(r − b) действует на основную функцию Φ(x, y, z) по правилу:
(δ(r − b), Φ(x, y, z)) = |
Φ(bnx, bny, bnz) dΩb = b2 |
Φ(bnx, bny, bnz) dω, где Ωb – сфера радиуса b, ω – |
ΩRb |
|
R |
|
|
ω |
единичная сфера, ~n – единичный вектор нормали к сфере.
2.10 Фундаментальные решения
Обобщённая функция E(x) называется фундаментальным решением
(ф.р.), или фундаментальной функцией, обыкновенного дифференциального оператора L с постоянными коэффициентами, если LE = δ(x).
Фундаментальным решением оператора Lx с переменными коэффициентами называют семейство обобщённых функций E(x, ξ), зависящих от ξ как от параметра, и при каждом значении ξ удовлетворяющих (в смысле обобщенных функций) уравнению LxE(x, ξ) = δ(x − ξ). Здесь Lx – оператор L, действующий на E(x, ξ) как на обобщённую функцию от x.
4.57.Пусть E(x) – ф.р. оператора L с постоянными коэффициентами, f(x) – обобщённая функция, для которой имеет смысл свёртка с фундаментальным решением. Доказать, что свёртка u(x) = E(x) f(x) есть решение неоднородного уравнения Lu = f(x).
4.58.Пусть E(x, ξ) – ф.р. оператора Lx с переменными коэффициентами, f(x) – обычная функция,
|
u(x) = |
∞ |
для которой имеет смысл аналог классической свёртки с ф.р., а именно, |
E(x, ξ)f(ξ) dξ. |
|
|
|
−∞ |
Доказать, что u(x) есть решение неднородного уравнения Lxu = f(x). |
|
R |
4.59. а) Пусть v(x) – решение задачи Коши Lxv ≡ v0 + a(x)v = 0, v(0) = 1, где a(x) C∞. |
||
Доказать, что функция E(x) = v(x)θ(x) является решением уравнения E0 |
+ a(x)E = δ(x). |
|
б) Пусть v(x, ξ) – решение задачи Коши Lxv ≡ v00 + a1(x)v0 + a2(x)v = 0, v(ξ) = 0, v0(ξ) = 1, где ak(x) C∞. Доказать, что функция E(x, ξ) = v(x, ξ)θ(x − ξ) – одно из решений уравнения LxE =
δ(x − ξ).
4.60. Пользуясь способом, указанным в задаче 4.59(б), построить фундаментальное решение опе-
ратора: а) L = d2/dx2 + a2 (a > 0); б) L = d2 |
/dx2 − a2 (a > 0). |
4.61. Найти решение уравнения x2E00 + xE0 |
− a2E = δ(x − ξ), где ξ > 0. |
Фундаментальное решение находится с точностью до решений однородного уравнения: если L E = δ(x) и Lv = 0, то L (E + v) = δ(x). Этот произвол можно использовать для выбора определённого
ф.р., удовлетворяющего каким-либо дополнительным условиям. |
|
|
||||||||||
Пусть Lx = |
d2 |
|
+ p(x) |
d |
+ q(x), a ≤ x ≤ b, p(x), q(x) C∞. Функцией Грина краевой задачи |
|
|
|||||
dx2 |
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Lxy = f(x), αay(a) + βay0(a) = 0, αby(b) + βby0(b) = 0 |
(•) |
|||||||
называется решение G(x, ξ) уравнения LxG = δ(x |
− |
x |
(a, ξ) = |
|||||||||
|
ξ), удовлетворяющее условиям αaG(a, ξ)+βaG0 |
|
||||||||||
0, α G(b, ξ) + β G0 |
(b, ξ) = 0 при ξ |
|
(a, b). |
|
|
|
|
|||||
b |
b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.62. Пусть u(x) и v(x) – решения однородного уравнения y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0, удовлетворяющие условиям: αau(a) + βau0(a) = 0, αbv(b) + βbv0(b) = 0. Показать, что если u(x) и v(x) линейно независимы, то функция Грина существует, единственна и выражается формулой
|
1 |
u(x)v(ξ), |
a |
|
x ξ |
b, |
|
G(x, ξ) = |
|
u(ξ)v(x), |
a |
≤ |
ξ |
≤ x |
≤ b, |
W (ξ) |
|||||||
|
|
|
|
≤ |
|
≤ |
≤ |
51