В задачах 6.32 и 6.33 найти с погрешностью O(λ−3/2) асимптотику интегралов при λ → +∞:

3

6.32. F (λ) = R cos x · sin [λ (x3 − 3x2) ] dx.

−1

0

λ= iµ, µ → +∞.

6.35.Найти главный член асимптотики при x → +∞ функции Эйри

интегрирования по частям оценивается как O(λ−1).

4.4 Асимптотика кратных интегралов типа Фурье

Рассматриваются интегралы вида

Z

F (λ) = f(~x)eiλS(~x)d~x, (13)

D

где D – область в n-мерном пространстве Rn, ограниченная замкнутой поверхностью σ, ~x Rn, функции f(~x) – амплитуда и S(~x) – фаза предполагаются бесконечно дифференцируемыми. Задача состоит в получении асимптотики функции F (λ) при λ → +∞.

тами, удовлетворяющими системе уравнений ∂S/∂xj = 0, j = 1, 2, ..., n.

1. Если внутри области и на границе нет стационарных точек, то при помощи интегрирования по частям

контуру σ области D. Контурный интеграл сводится к однократным интегралам по x и исследуется по

88

схеме предыдущего параграфа, а второе слагаемое оценивается как O(λ−2) или снова интегрируется по частям.

6.36. Найти асимптотику при λ → +∞ интеграла

ZZ

F (λ) = (1 + 2x + y)eiλ(x2−8xy+y2+1)dxdy,

D

где D – квадрат |x − 2| ≤ 1, |y| ≤ 1.

Указание. Стационарная точка (0,0) находится вне области. После интегрирования по частям по переменной y получаем: F = F1 + F2, где

2. Нейтрализатором, связанным с точкой ~a, называется функция η(~x;~a) класса C∞, равная 1 в некоторой окрестности точки ~a и равная нулю вне некоторой большей её окрестности. Вкладом точки ~a в асимптотику интеграла (13) называется интеграл

Важно отметить, что фактически интеграл берется по (малой) окрестности точки ~a, причем граница этой окрестности влияет на асимптотику с погрешностью O(λ−∞), которую следует отбросить. Поскольку в точке ~a и её окрестности нейтрализатор равен 1, то его присутствие в качестве множителя под знаком интеграла не влияет на выражение для асимптотики вклада точки~a. Вклад V (λ; σ) границы σ области D определяется аналогично (14) с помощью нейтрализатора, равного 1 на границе и вблизи неё и равного нулю вне некоторой окрестности границы.

Принцип локализации: Асимптотика интеграла (13) определяется суммой вкладов от всех стационарных точек и от границы области.

Пусть ~x0 – стационарная точка фазы, лежащая внутри области D. Будем считать стационарную

Если ~x0 – единственная стационарная точка в области D, то главный член асимптотики интеграла

Здесь величина sign H – сигнатура матрицы H – равна сумме знаков собственных чисел этой матри-

n

цы. Для вычисления сигнатуры можно просто записать квадратичную форму матрицы P (H)ijξiξj и

i,j=1

n

привести её любым способом к каноническому виду P µjζj2, тогда sign H = sign µ1 + ... + sign µn.

j=1

Если на границе области нет стационарных точек, то для вычисления асимптотики вклада от границы можно проинтегрировать этот вклад по частям по какой-нибудь переменной xj, для которой ∂S/∂xj 6= 0, понизив тем самым размерность задачи подобно тому, как это было показано в п.1.

6.37. Найти главный член асимптотики интеграла задачи 6.36, где область D – квадрат |x| ≤

1, |y| ≤ 1.

Указание: ~ −∞ , где ~ – вклад стационарной точки (0,0), –

F (λ) = V (λ; 0) + V (λ; σ) + O(λ ) V (λ; 0) V (λ; σ)

вклад границы, V (λ, σ) = O(λ−2). Элементы матрицы Гессе: H11 = H22 = 2, H12 = H21 = −8, собственные числа 10 и −6.

89

4.5 Метод перевала

Изучается асимптотика при λ → +∞, λ > 0 интегралов вида

Z

F (λ) = f(z)eλS(z)dz, (16)

γ

где γ – незамкнутый контур в комплексной плоскости z, функции f(z) и S(z) регулярны в некоторой области, содержащей внутри себя контур γ.

Замечание. В силу регулярности подинтегральной функции, можно произвольно деформировать контур интегрирования, что дает дополнительные возможности для получения асимптотических формул.

1. Пусть f(z) = u(x, y) + iv(x, y), тогда |eS(z)| = eu(x,y). График функции ζ = eu(x,y) в трёхмерном пространстве (x, y, ζ) называется рельефом функции eS(z). Как всякая гармоническая функция, вещественная часть u(x, y) регулярной функции f(z) не может иметь максимумов или минимумов, поэтому на рельефе не могут существовать "ямы"или "холмы".

Если контур γ таков, что в одной из его концевых точек z значение функции u(x, y) больше, чем во всех остальных точках контура, и притом S0(z ) 6= 0, то, как и для интегралов Лапласа, интегрирование по частям даёт асимптотическое разложение при λ → +∞:

В этой формуле выбирается знак "+", если z – конец контура при выбранной его ориентации, и знак "−", если z – начало контура.

2. Седловой точкой (или точкой перевала) функции S(z) называется такая точка z0, что S0(z0) = 0. Седловая точка называется невырожденной, если S00(z0) 6= 0.

Вокрестности невырожденной седловой точки z0 рельеф функции eS(z) имеет вид простого седла (такой же вид имеет гиперболический параболоид). На плоскости z в седловой точке пересекаются под прямым углом две кривые, при движении точки z по которым изменение функции |eS| происходит наиболее быстро. Одну из этих кривых седловая точка делит на две линии наискорейшего спуска

(ЛНС), другую кривую – на две линии наискорейшего подъема (ЛНП). При удалении от точки z0 вдоль ЛНС функция |eS| убывает наискорейшим образом, а вдоль ЛНП – наискорейшим образом возрастает. Угол между ЛНП и соседней с ней ЛНС равен 90◦. Вдоль каждой ЛНС и ЛНП функция v(x, y) постоянна.

Вокрестности точки z0 легко получить уравнения линий наискорейшего спуска и возрастания,

пользуясь приближенным равенством S(z) ≈ S(z0) + b (z − z0)2, где b = 12 S00(z0) = |b|eiα, α = arg S00(z0). Пусть z − z0 = ρeiφ, тогда arg (S(z) − S(z0)) ≈ α + 2φ, и вдоль касательных к ЛНП будет

φ = −α/2 и φ = π − α/2, а вдоль касательных к ЛНС будет φ = −α/2 + π/2 и φ = −α/2 − π/2. Другими словами, ЛНС и ЛНП пересекаются под углом 90◦. Отметим, что ЛНС пересекает прямую, проходящую через z0 и параллельную оси Re z, под углом φ0 = 12 (φ − arg S00(z0)).

В седловой точке пересекаются под прямым углом также две линии постоянства функции u(x, y), обозначим их l1 и l2. При движении z по l1 и l2 соответствующая точка на рельефе перемещается на одной и той же высоте. На географической карте такие линии называют "горизонталями". При движении z по линиям постоянства u(x, y) функция v(x, y) изменяется наиболее быстро. Вне седловых точек линии постоянства функции u пересекают линии постоянства функции v под прямым углом, а в седловых точках – под углом 45◦. Линии l1 и l2 делят окрестность седловой точки на четыре сектора: два "положительных"и два "отрицательных". Каждый отрицательный сектор содержит одну ЛНС, положительный – одну ЛНП. Если точка z удаляется от седловой точки в отрицательном секторе, то точка на рельефе спускается вниз ("под гору"), а в положительном секторе – поднимается наверх ("в гору").

90

3. Вернёмся к вопросу об асимптотике интеграла (16). Если начало контура γ находится в одном отрицательном секторе, а конец – в другом, то при любых непрерывных деформациях контура наибольшее значение |eS| будет достигаться во внутренней точке контура, а не на концах. В этом случае следует так деформировать контур, чтобы он прошел через седловую точку z0 и совпал вблизи этой точки с частью ЛНС, а на оставшейся части контура выполнялось неравенство u(x, y) < u(x0, y0). Тогда, как и для интеграла типа Лапласа, асимптотика определяется только вкладом седловой точки:

где φ0 = 12 (π − arg S00(z0)), 0 ≤ arg S00(z0) < 2π, −π/2 < φ0 ≤ π/2. В формуле (17) следует взять знак "+", если вблизи седловой точки z0 движение по контуру в направлении его ориентации образует острый угол φ0 с положительным направлением оси Re z, и знак "−"в противоположном случае.

В задачах 6.38 и 6.39 для данных интегралов найти главный член асимптотики при λ → +∞.

6.38. F (λ) = R exp λ (13 z3 − z) dz. Здесь γ – контур, идущий по лучу arg z = −π/3 из бесконеч-

γ

ности к нулю, а затем уходящий из нуля на бесконечность по лучу arg z = π/3.

Указание. Имеются две седловые точки: z0 = 1 и z1 = −1. Из точки z0 в верхнюю полуплоскость выходит линия наискорейшего спуска l+ под прямым углом к оси x, далее она уходит на бесконечность, приближаясь к лучу arg z = π/3. В нижней полуплоскости имеется ЛНС l−, симметричная l+ относительно оси x. Контур интегрирования следует совместить с l− l+ и применить формулу (17).

Примечание. Дифференциальное уравнение Эйри имеет вид w00(t) = tw(t). Одно из его решений можно

2. Общий член ряда: an = (−1) n! . Когда n возрастает от 0 до n = [λ], тогда |an| убывает, а когда

91

Например, при λ = 10 будет |R10| ≤ 0, 000036 .

с точным значением F = 2 ch (πλ/2)/(λ + 1), которое получается прямым вычислением интеграла. Причина в том, что слагаемое e−πλ/2 экспоненциально мало по сравнению с e+πλ/2, и все коэффициенты его АР по асимптотической последовательности {e+πλ/2λ−n} равны нулю;

в) в данном случае погрешность при замене интеграла частичной суммой его АР будет тем меньше, чем больше слагаемых в сумме, так как бесконечный АР сходится, а его сумма отличается от истинного

92