Ryattel_A_V_Kontrolnaya_tetrad_po_lineynoy

уравнение высоты СD и ее длину; д) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; е) систему линейных ограничений, определяющих треугольник ABC.

Решение. А) Построим вектор стороны АВ: АВ 5 ( 4); 4 8 9; 12 .

31

Г) Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку,

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам,

Е) Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С,

вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой

АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ

32

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость,

ограниченную прямой BC и содержащую точку А, найдем уравнение прямой

BC. Для этого подставим в формулу уравнения прямой, проходящей через две

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2 (-4)-8-14= =-30<0. Значит, искомым неравенством будет 2x y 14 0.

Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость,

ограниченную прямой АС и содержащую точку В: 5+7 (-4)-52=-75<0. Третье

y

Рисунок 1.

33

V. А) Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3;0) и до прямой x=12 равно числу 0,5; полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Б) Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А(3;-4) равно расстоянию до прямой y=2; полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. А) Пусть М(x;y) – произвольная точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую x=12 (см. рисунок 2).

y

Рисунок 2.

Полученное уравнение представляет собой эллипс с полуосями a=6, b 33 , a>b (a – большая).

34

Определим фокусы эллипса F1(-c;0) и F2(c;0). Для эллипса справедливо равенство b2=a2-c2, откуда с2=a2-b2 и с=3. То есть, F1(-3;0) и F2(3;0) – фокусы

Б) Пусть М(x;y) – произвольная точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую y=12 (см. рисунок 3).

y

B

2

x

СM

-4

А

Рисунок 3.

Тогда В(x;2). По условию задачи МА=МВ, поэтому

базисе пространства R3. Требуется: а) найти собственные значения и собственные векторы оператора; б) убедиться в существовании базиса пространства R3, состоящего из собственных векторов оператора, записать матрицу оператора в этом базисе; в) указать матрицу перехода к новому базису из собственных векторов и проверить справедливость формулы,

35

связывающей матрицы оператора в разных базисах.

Решение. А) Для нахождения собственных значений оператора составляем

ивычисляем характеристический многочлен оператора, например,

Собственные значения оператора – корни этого многочлена. Для их

определения решим кубическое уравнение: −λ3−4λ2−5λ−2=0.

Для нахождения целого корня этого уравнения переберем все делители свободного члена -2: 1, 2. Непосредственной подстановкой указанных чисел

обнаруживаем, что, например, число −1 является корнем. Для нахождения остальных корней делим многочлен −λ3−4λ2−5λ−2 «уголком» на λ+1:

Полученное частное −λ2−3λ−2 – квадратный трехчлен. Найдем его корни с

помощью дискриминанта:

D 3 2 4 1 2 1,

36

Откуда,

−λ3−4λ2−5λ−2=−(λ+1)2(λ+2).

Таким образом, линейный оператор имеет два собственных значения, одно из которых двукратно, и спектр таков: S={(−1)[2], (−2)[1]}.

-1, определяется из матричного уравнения:

которое соответствует системе однородных линейных уравнений:

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

находим базис подпространства решений:

37

соответствующий собственному числу -2, определим из уравнения:

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

Соответствующая система состоит из двух уравнений:

x1 x3 0x2 x3 0 .

Теперь свободное неизвестное одно (x3), и подпространство решений

38

Таким образом, множество всех собственных векторов с собственным значением −2 имеет вид:

1

с1 , с R, с≠0.1

Б) Как известно, оператор диагонализируем тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1)характеристический многочлен разлагается на линейные множители в рассматриваемом поле;

2)размерность каждого собственного подпространства равна кратности соответствующего корня характеристического многочлена.

Условия для нашего примера выполняются, следовательно, должен существовать базис из собственных векторов. Для нахождения такого базиса достаточно объединить найденные нами базисы в подпространствах решений двух однородных систем. Матрица перехода к такому базису есть матрица,

столбцы которой – найденные базисные векторы:

В) Проверим справедливость формулы, связывающей матрицы оператора

39

Для приведения квадратичной формы к диагональному виду перейдем к базису,

состоящему из собственных векторов.

Уравнение для определения собственных значений примет вид:

Имеем:

I

40