Структура временных рядов.

Рассмотрим временной ряд из nуровнейY₁,Y₂,Y₃, …,Y_n.Его можно разложить на 4 структурных образующих элемента:

• тренд, составляющие которого обозначим U_t,t=1, 2, …,n;

• сезонная компонента, обозначим V_t,t=1, 2, …,n;

• циклическая компонента, обозначим C_t,t=1, 2, …,n;

• случайная компонента, обозначим E_t,t=1, 2, …,n;

Во временных рядах могут быть более или менее регулярные колебания. Если они носят периодический или близкий к нему характер и совершаются в течение одного года, их называют сезонными колебаниями. Когда период колебания составляет несколько лет, из называютциклическими, т.е. в ряде присутствует циклическая компонента.

Тренд, сезонная и циклическая составляющие называются регулярнымиилисистематическими компонентамивременного ряда. Составная часть ряда, остающаяся после выделения из нерегулярных компонентов, представляет собойслучайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике.

Одна из главных целей разработки трендовых моделей – выделение систематических компонент. Остающиеся после этого остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

• случайностью колебаний уровней остаточной последовательностью;

• соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

• равенства математического ожидания случайной компоненты нулю;

• независимостью значений уровней случайной последовательности, т.е. отсутствием существенной автокорреляции.

Если все условия выполняются, то модель адекватна фактической зависимости. Если не выполняется хотя бы одно из них, модель признается неадекватной. Проверка осуществляется с использованием ряда статических характеристик.

Для моделирования и прогнозирования сезонных и циклических экономических процессов используются специальные методы (индексный и спектральный анализ, выравнивание по ряду Фурье и др).

2. Предварительный анализ и сглаживания временных рядов

Предварительный анализ временных рядов экономический показателей начинается с оценки данных, т.е. заключается в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда и наличия тренда. Уровни исследуемого показателя обязательно должны быть сопоставимы и однородны, а для выявления тенденции должны быть еще устойчивы, и количество наблюдений должно быть достаточно велико. Сопоставимость предполагает формирование всех уровней по одной и той же методике, использование одинаковых единиц измерения и шага наблюдений.

Данные однородны, если отсутствуют сильные изломы тенденций и нетипичные, аномальные наблюдения. При выявлении тенденции бывает целесообразно отбросить часть прошлых данных, если они отражают уже утратившую силу закономерность прошлого развития. Наличие аномальных (резко выделяющихся) наблюдений приводит к искажению результатов.

Для диагностики аномальных наблюдений и их устранения существуют различные методы для статистических совокупностей. Наиболее простым являетсяметод Ирвина. Он предполагает использование формулы:

где - среднеквадратическое отклонение;

n– число уровней ряда.

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина . Например, для уровня значимости α=0,05 (т.е. с 5%-ной ошибкой) приведены в таблице:

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

Если >, то соответствующее значениеуровня ряда считается аномальным. Если аномальность вызвана ошибкой технического характера, то уровень заменяется средней арифметической рассчитанном по уравнению взаимосвязи. Устойчивость характеризует преобладание закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. Это очень хорошо прослеживается на графиках рядов. Если на графике ряд неустойчивый, хаотичный, то искать закономерность в формировании ряда не имеет смысла.

Требование полноты данных обусловлено тем, что закономерность может обнаружиться лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений.

Если целью исследования является построения модели динамики, то число уровней ряда должно быть не меньше 7-10.

Следующим этапом анализа является выявление тенденции в развитии исследуемого показателя (т.е. выявление наличия тренда). Тенденция проявляется не только в увеличении или уменьшении численного текущего значения показателя временного ряда, она присуща и другим его характеристикам: дисперсии, автокорреляции, корреляции с другими показателями и т.д. Для определения наличия тренда во временном ряду применяется несколько методов: графический метод, метод проверки существенности разности средних, метод Фостера-Стьюарта и другие методы.

Метода Фостера-Стьюарта. Этот метод обладает большими возможностями и дает более надежные результаты. Кроме тренда самого ряда (тренда в среднем) он позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда: если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен, если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается» и т.д.

Метод включает 4 этапа:

1.Каждый уровень исходного временного ряда, начиная со второго уровня, сравнивается со всеми предыдущими. При этом определяются две числовые последовательности:

;

t= 2, 3, …,n.

2.Вычисляют величиныSиd:

Величина S, характеризующая изменения временного ряда и принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собойK_t=0,l_t=0) доn-1 (ряд монотонный). Величинаd, характеризует изменение дисперсии уровней временного ряда и изменяется от –(n-1) (ряд монотонно убывает) до (n-1) (ряд монотонно возрастает).

3. Проверяют гипотезы: можно ли считать случайными:

1. Отклонение величины Sот величины μ (мю) – математического ожидания величиныSдля ряда, в котором уровни расположены случайным образом.

2. Отклонения величины d от нуля.

Эта проверка проводится с использованием различных значений t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии:

где μ – математическое ожидание величины S, определенная для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

σ₁, σ₂– среднеквадратические отклонения соответственно для величиныSи величиныd.

Для удобства имеем табулированные значения μ, σ₁, σ₂.

n	10	20	30	40
μ	3,858	5,195	5,990	6,557
σ1	1,288	1,677	1,882	2,019
σ2	1,964	2,279	2,447	2,562

4.Расчетные значения t_Sи t_dсравниваются с табличными значениями t – критерия Стьюдента с заданным уравнением значимости. Если - то гипотеза от отсутствия соответствующего тренда принимается, в противном случае тренд есть. Например, если , то для данного временного ряда имеется тренд в среднем, а тренда дисперсии уровня ряда нет.

Перейдем к вопросу сглаживания временных рядов. Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями в ту или иную сторону. С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, для применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов. Методы сглаживания временных рядов делятся на две группы:

1. аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний (см. тема 5 – кривые роста);

2. механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

Наиболее распространенными механическими методами сглаживания являются: использование простой скользящей средней, взвешенной скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, выравнивание способом наименьших квадратов, графическое выравнивание.

Метод простой скользящей средней.Сначала для временного рядаy₁,y₂,y₃,…,y_nопределяется интервал сглаживанияm(m<n). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, тоmберут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. Лучше интервал сглаживания брать нечетным. Для первыхmуровней ряда рассчитывается средняя арифметическая. Это будет сглаженное значение уровня ряда, находящееся в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вперед (вправо), повторяется вычисление средней арифметической и т.д. Для вычисления сглаженных уровней рядаформула:.

В результате получается n-m+1 сглаженных значений уровней ряда. Первые и последние уровни ряда теряются. Метод применим лишь для рядов имеющих линейную тенденцию.

Метод взвешенной скользящей средней.Метод отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал сглаживания суммируются с разными весами. Используется формула средней арифметической взвешенной:.

Веса p_tопределяются с помощью метода наименьших квадратов. Эти веса рассчитаны для различных степеней аппроксимирующего полинома и различных интервалов сглаживания. Для полиномов 2-го и 3-го порядков дляm=5 последовательность весов {-3, 12, 17, 12, -3}, дляm=7 - {-2, 3, 6, 7, 6, 3, -2}.

Метод экспоненциального сглаживания. Его особенность в том, что для нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенными весами. Вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.

Для исходного ряда y₁,y₂,y₃,…,y_n, сглаженные значения обозначимS_t,t=1, 2,…,n, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

,

где α – параметр сглаживания0<α<1;

1-α – коэффициент дисконтирования.

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение для всех уровней ряда, начиная с первого и кончая моментом времени t, можно получить, что экспоненциальная средняя, т.е. сглаженная данным методом значение уровня ряда, является взвешенной средней всех предшествующих уровней:

,

где i– уровень ряда;

S₀– величина, характеризующая начальные условия;

α выбирают от 0,1 до 0,3. Браун предлагает α определять исходя из длины сглаживаемого ряда: ,S₀берут или равнымy₁– значение первого уровня ряда или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда:.

Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре α будут сильно отличаться от исходных, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. При этом методе сглаживания не теряются ни начальные, ни конечные уровни сглаживаемого временного ряда.