183

27. Элементы теории массового обслуживания

27.1. Основные понятия. Классификация систем массового обслуживания

Системами массового обслуживания (СМО) принято называть системы, предназначенные для многоразового использования при решении однотипных задач. Примерами СМО являются магазины, ателье, телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские и т.д.

Каждая СМО может состоять из одной или нескольких обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания. По числу каналов СМО подразделяются на одноканальные и многоканальные.

Каждое обращение клиента в СМО будем называть заявкой. Как правило, заявки поступают в СМО случайным образом, образуя случайный поток заявок. Продолжительность обслуживания заявки в канале СМО также носит случайный характер. Поэтому СМО оказывается загруженной неравномерно.

В некоторые периоды времени, когда мало заявок, СМО работает с недогрузкой или простаивает. Если же в СМО поступает большое число заявок, то часть из них либо покидают СМО необслуженными, либо становятся в очередь. По этому признаку СМО подразделяются на два основных класса:

1. СМО с отказами. В такой СМО заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему.

2. СМО с ожиданием (с очередью). В этой СМО в случае занятости всех каналов заявка становится в очередь на обслуживание. При этом способ отбора для обслуживания заявок из очереди называется дисциплиной обслуживания. Различают следующие виды дисциплин обслуживания:

а) первая пришла – первая обслужена;

б) последняя пришла – первая обслужена;

в) обслуживание с приоритетом – в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки;

г) обслуживание с ограниченной длиной очереди;

д) обслуживание с ограниченным временем пребывания в очереди и т.д.

Показатели эффективности СМО характеризуют ее способность справляться с потоком заявок. К числу показателей эффективности СМО с отказами относятся:

• А - абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени);

• Q - относительная пропускная способность (отношение абсолютной пропускной способности к числу заявок, приходящих в единицу времени);

• P_отк - вероятность отказа;

• S_k - среднее число занятых каналов.

Основные показатели эффективности СМО с ожиданием:

- - среднее число заявок в системе;

• L_оч - среднее число заявок в очереди;

• T_сист - среднее время ожидания обслуживания.

27.2. Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО изменяется скачкообразно в случайный момент времени (например, при поступлении новой заявки или при окончании обслуживания заявки).

Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от состояния рассматриваемой системы в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Например, марковским процессом можно считать процесс игры в шахматы: при определенной позиции (положении фигур на доске) вероятность выигрыша одного из игроков зависит только от этой позиции и не зависит от того, посредством каких предыдущих ходов эта позиция получилась.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Интенсивностью потока событий  называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Стационарным потоком событий называется поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока является величиной постоянной.

Потоком событий без последействия называется поток, число событий которого, попавших на заданный временной интервал, не зависит от числа событий, попавших на другие временные интервалы.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый промежуток времени t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и без последействия. Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание.

Можно показать, что для простейшего потока число m событий, попадающих на произвольный интервал времени t, распределено по закону Пуассона:

.

В частности, вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события (m = 0) равна:

.

Обозначим через Т случайную величину равную интервалу времени между двумя последующими событиями простейшего потока. Очевидно, что вероятность того, что Т будет не меньше t, равна вероятности, что за время t не произойдет ни одного события, т.е.

.

Вероятность P(T < t), с одной стороны, представляет собой вероятность противоположного события по отношению к вышеуказанному, а с другой стороны, по определению функции распределения она представляет собой F(t) для случайной величины Т. Таким образом,

.

Отсюда следует, что плотность распределения случайной величины T, равная производной по t от F(t), определяется по формуле:

.

То есть, случайная величина T равная интервалу времени между двумя последующими событиями простейшего потока распределена по показательному закону с параметром  и имеет математическое ожидание и дисперсию .

Найдем вероятность попадания на малый временной интервал t хотя бы одного события простейшего потока. Эта вероятность равна вероятности, что интервал между двумя последующими событиями в потоке будет меньше, чем t.

.

Последнее приближенное равенство получаем путем разложения функции в ряд Маклорена и отбрасыванием членов второго порядка и выше:

.