Задача 18.

Текущий курс акции равен 90,00 и может в будущем либо увеличиться до 110,00 с вероятностью 0,7, либо понизится до 60,00 с вероятностью 0,3. Цена исполнения европейского опциона колл равна 80,00.

1. Определите ожидаемую стоимость опциона колл.

2. Определите коэффициент хеджирования и постройте безрисковый портфель.

Решение:

Опцион - контракт, дающий владельцу или держателю опциона право купить или продать определенный актив по некоторой, заранее оговоренной цене в течение определенного промежутка времени.

«Колл» - дает владельцу право выкупить указанное число конкретных обыкновенных акций по установленной цене (цене исполнения) до определенного срока или точно в срок называемый датой закрытия.

Дано:

Курс акции	Вероятность
Psu = 110	w1 = 0,7
Psd = 60	w2 = 0,3
Ps = 90

Решение построим на основе биноминальной модели оценки опциона:

Цена базового актива может прогнозироваться в сторону повышения до уровня Psu или в сторону понижения Psd. В соответствии с этим имитирующий портфель для оценки опциона колл с ценой исполнения Е=80 будет включать заимствования по безрисковой ставке в сумме В и приобретение единиц базового актива. Распишем денежные потоки по имитирующему портфелю и по опциону колл в таблице 1.

В первом случае - при повышении цены опцион будет исполняться, стоимость опциона равна 30 руб.: V1= (Psu - E) = 110 - 80 =30.

Во втором случае - при понижении цены опцион исполняться не будет, стоимость опциона равна 0: V2= (Psd - E) = (60 – 80 = -20).

Таблица 1

Виды активов	Денежные потоки при повышении цен	Денежные потоки при понижении цены	Текущая курсовая стоимость
Акция	110	60	90
Облигация	90	90	90
Опцион	30	0	?

Следуя условию биноминальной модели, получаем:

110 * + 90 * В = 30

60 * + 90 * В = 0.

Находим коэффициент хеджирования по формуле:

= Сu – Cd / Psu – Psd , где

Сu и Cd стоимость опциона колл в случае повышения и понижения соответственно;

= 30 – 0 / 110 – 60 = 0,6;

Подставляем в систему уравнений коэффициент хеджирования и находим сумму заимствований В = -0,4.

V = 90 * 0,6 – 36 = 18 руб – внутренняя стоимость опциона.

Полученные результаты означают, что инвестор может воспроизвести платежи по опциону колл, осуществив продажу безрисковой облигации за -36 руб. и купив 0,6 акций.

Через вероятность определим ожидаемую стоимость опциона колл:

V = 30 * 0,7 + 0 * 0,3 = 21 руб.

Ответ: Ожидаемая стоимость опциона колл составляет 21 руб., коэффициент хеджирования составляет 0,6.

Задача 2.

ОАО «Воды-Пиво» выпустило облигации с 5-летним сроком обращения и ставкой купона 9% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Одновременно ОАО «Воды-Пиво» были выпущены облигации с 15-летним сроком обращения и точно такими же характеристиками. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 9%.

1. По какой цене были размещены облигации предприятия? Почему?

2. Предположим, что ожидается снижение ставки доходности. Какую облигацию вы предпочтете? Почему?

3. Определите дюрации обеих облигаций.

4. Вскоре после выпуска рыночная ставка выросла до 11%. Стоимость какой облигации изменится больше? Подкрепите свои выводы соответствующими расчетами.

Решение:

Данные: N = 100 руб.; n1 = 5 лет; k1 = 9%; m1 = 2 раза в год; n2 = 15 лет; k2 = 9%; m2 = 2 раза в год; r1,2= 9%;

1)Облигации ОАО «Воды-Пиво» с 5-летним и 15-летним сроками обращения были размещены по 100 руб. Их текущая стоимость равна номиналу, так как купонная и рыночная ставки равны между собой. Сделанный вывод можно подкрепить расчетами, воспользовавшись формулой 3.1.

Р1 = (100*0,09)/2:(1+0,09/2) + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)² + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)³ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁴ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁵ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁶ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁷ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁸ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁹ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁰ + 100:(1+0,09/2)¹⁰ = 4,5:1,045 + 4,5:1,092 + 4,5:1,1412 + 4,5:1,1925 + 4,5:1,2462 +4,5:1,3023 + 4,5:1,3609 + 4,5:1,4221 + 4,5:1,4861 + 4,5:1,5530 + 100:1,5530 = 4,31 + 4,12 + 3,94 + 3,77 + 3,61 + 3,46 + 3,31 + 3,16 + 3,03 + 2,90 + 64,39 = 100 руб.

Р2 = (100*0,09)/2:(1+0,09/2) + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)² + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)³ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁴ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁵ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁶ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁷ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁸ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)⁹ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁰ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹¹ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹² + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹³ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁴ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁵ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁶ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁷ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁸ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)¹⁹ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁰ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²¹ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²² + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²³ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁴ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁵ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁶ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁷ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁸ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)²⁹ + (100*0,09)/2:(1+0,09/2)³⁰ + 100:(1+0,09/2)³⁰ = 4,5:1,045 + 4,5:1,092 + 4,5:1,1412 + 4,5:1,1925 + 4,5:1,2462 + 4,5:1,3023 + 4,5:1,3609 + 4,5:1,4221 + 4,5:1,4861 + 4,5:1,5530 + 4,5:1,6229 + 4,5:1,6959 + 4,5:1,7722 + 4,5:1,8519 + 4,5:1,9353 + 4,5:2,0224 + 4,5:2,1134 + 4,5:2,2085 + 4,5:2,3079 + 4,5:2,4117 + 4,5:2,5202 + 4,5:2,6337 + 4,5:2,7522 + 4,5:2,8760 + 4,5:3,0054 + 4,5:3,1407 + 4,5:3,2820 +4,5:3,4297 + 4,5:3,5840 + 4,5:3,7453 + 100:3,7453 = 4,31 + 4,12 + 3,94 + 3,77 + 3,61 + 3,46 + 3,31 + 3,16 + 3,03 + 2,90 + 2,77 + 2,65 + 2,54 + 2,43 + 2,33 + 2,23 + 2,13 + 2,04 + 1,95 + 1,87 + 1,79 + 1,71 + 1,64 + 1,56 + 1,50 + 1,43 + 1,37 + 1,31 + 1,26 + 1,20 + 26,70 = 100 руб.

2)Цена облигации изменяется в противоположном направлении изменению доходности: при уменьшении рыночной ставки цена облигации растет. По мере уменьшения рыночной ставки процентное изменение курсовой стоимости у облигации с 15-летним сроком обращения будет выше, чем у облигации с 5-летним. Поэтому выгодно приобрести облигации с 5-летним сроком обращения.

3)Дюрация определяется по формуле 3.3.

, (3.3)

где C_t - величина платежа по купону в периоде t; N – номинал; n – срок погашения;Y – процентная ставка.

Представим данные промежуточного расчета в виде таблиц 3.1 и 3.2.

Таблица 3.1 Данные промежуточного расчета для облигации с 5-летним сроком обращения

Время до наступления платежа t	Сумма платежа Сt	Коэффициент дисконтирования 1/(1 + Y)^t	Дисконтированная стоимость платежа Ct/(1 + Y)^t	Дисконтированная стоимость платежа, умноженная на время Ct*t/(1 + Y)^t
1	2	3	4	5
1	4,5	0,9569	4,31	4,31
2	4,5	0,9157	4,12	8,24
3	4,5	0,8763	3,94	11,83
4	4,5	0,8386	3,77	15,09
5	4,5	0,8025	3,61	18,06
6	4,5	0,7679	3,46	20,73
7	4,5	0,7348	3,31	23,15
8	4,5	0,7032	3,16	25,31
9	4,5	0,6729	3,03	27,25
10	104,5	0,6439	67,29	672,90
Итог			100,00	826,88

Д1 = 826,88/100 = 8,27 полугодия или 8,27/2 = 4,14 года.

Таблица 3.2 Данные промежуточного расчета для облигации с 15-летним сроком обращения

Время до наступления платежа t	Сумма платежа Сt	Коэффициент дисконтирования 1/(1 + Y)^t	Дисконтированная стоимость платежа Ct/(1 + Y)^t	Дисконтированная стоимость платежа, умноженная на время Ct*t/(1 + Y)^t
1	2	3	4	5
1	4,5	0,9569	4,31	4,31
2	4,5	0,9157	4,12	8,24
3	4,5	0,8763	3,94	11,83
4	4,5	0,8386	3,77	15,09
5	4,5	0,8025	3,61	18,06
6	4,5	0,7679	3,46	20,73
7	4,5	0,7348	3,31	23,15
8	4,5	0,7032	3,16	25,31
Продолжение таблицы 3.2
9	4,5	0,6729	3,03	27,25
10	4,5	0,6439	2,90	28,98
11	4,5	0,6162	2,77	30,50
12	4,5	0,5897	2,65	31,84
13	4,5	0,5643	2,54	33,01
14	4,5	0,5400	2,43	34,02
15	4,5	0,5167	2,33	34,88
16	4,5	0,4945	2,23	35,60
17	4,5	0,4732	2,13	36,20
18	4,5	0,4528	2,04	36,68
19	4,5	0,4333	1,95	37,05
20	4,5	0,4146	1,87	37,32
21	4,5	0,3968	1,79	37,50
22	4,5	0,3797	1,71	37,59
23	4,5	0,3634	1,64	37,61
24	4,5	0,3477	1,56	37,55
25	4,5	0,3327	1,50	37,43
26	4,5	0,3184	1,43	37,25
27	4,5	0,3047	1,37	37,02
28	4,5	0,2916	1,31	36,74
29	4,5	0,2790	1,26	36,41
30	104,5	0,2670	27,90	837,05
Итог			100,00	1702,19

Д2 = 1702,19/100 = 17,02 полугодия или 17,02/2 = 8,51 года.

Таким образом, средняя продолжительность платежей по 5-летней купонной облигации приблизительно равна 4,14 года. Однако дюрация 15-летней облигации будет равна всего 8,51 года, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения.

4)Воспользуемся формулой 3.4.

ΔРоб = - Д * ΔY/(Y+1) , (3.4)

где ΔРоб – процентное изменение цены облигации; Д – дюрация; ΔY – процентное изменение доходности; Y – доходность.

Процентное изменение цены облигации с 5-летним сроком обращения:

ΔРоб1 = - 4,14*0,02/(1+0,09) = - 4,14*0,0183 = - 0,0758 ≈ - 7,6%.

При увеличении рыночной ставки на 2% цена облигации упадет на 7,6% и составит 92,4 руб. (100 – 7,6 = 92,4 руб.).

Процентное изменение цены облигации с 15-летним сроком обращения:

ΔРоб2 = - 8,51*0,02/(1+0,09) = - 8,51*0,0183 = - 0,1557 ≈ - 15,6%.

При увеличении рыночной ставки на 2% цена облигации упадет на 15,6% и составит 84,4 руб. (100 – 15,6 = 84,4 руб.).

Таким образом, стоимость облигации с 15-летним сроком обращения изменится больше, чем облигации с 5-летним сроком обращения.