52.Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бернулли әдісі. Лагранж әдісі

53.Бернулли теңдеуі .

түріндегі дифференциалдық теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады.

54.Толық дифференциалдық теңдеулер түріндегі теңдеу, сол бөлігі кейбір функциясының толық дифференциалын береді, яғни толық дифференциалдық теңдеу деп аталады.Теорема. (13) теңдеудегі , функциялары бір байланысты облысында бірінші ретті дербес туындыларымен қоса үзіліссіз функциялар болса, онда ол теңдеу толық дифференциалдық теңдеу болыуы үшін шартының орындалуы қажетті және жетткілікті.

55.Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. 58de bar

56.Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі. 58de bar

57.Дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері және жалпы шeшімнің құрылымы функциясы (2) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады:

1) егер бұл функция С-ның кез келген мәнінде теңдеуді қанағаттандыратын болса, яғни

2) егер кез келген бастапқы нүктесі үшін Коши есебінің шешімі болып табылатын функциясын қанағаттандыратын анықталған тұрақтысы табылатын болса.

58.Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі. Анықтама

(15)

түріндегі теңдеу ші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Егер (15) теңдеуден і туынды табылатын болса, онда

(16)

теңдеуі ең жоғарғы туындысы арқылы шешілген ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

59.Жоғарғы ретті сызықтық диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі

Коши есебін қоялық:

60.Біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері және жалпы шешімнің құрылымы 61де бар

61.Біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерінің құрылымы Біртекті емес СДТ-ң жалпы шешімі былай болады:.

62.Коэффициентті тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

63.Эйлер әдісі. Сипаттаушы теңдеу.

64.Коэффициентті тұрақты біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін сұрыптау әдісімен табу. Тұрақты коэффициентті n –ретті біртекті емес СДТ-і қарастырамыз:

65.Сандық қатардың анықтамасы.

66.Қатардың бөлік қосындысы.

67.Қатардың қосындысының анықтамасы.

68.Сандық қатардың жинақтылығы мен жинақсыздығы.

69.Жинақтылықтың қажетті шарты.

70.Таңбалары оң қатарды салыстырудың бірінші белгісі.

71.Таңбалары оң қатарды салыстырудың екінші белгісі.

72.Даламбер белгісі.

73.Коши белгісі.

74.Таңбалары ауыспалы қатарлар. Абсолютті және шартты жинақтылық.

75.Таңбалары алма-кезек ауыспалы қатарлар. Лейбниц белгісі.

76.Ықтималдықтың классикалық және статистикалық анықтамалары. Олардың айырмашылығы.

“Ықтимал” аталымы (сөзі) ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Оның бірнеше анықтамалары бар. Біз солардың ішіндегі классикалық және статистикалық екі түріне ғана тоқталамыз. Қайсы бір А оқиғасының салыстырмалы жиілігі деп осы А оқиғасына қолайлы болған жағдайлар санының барлық жүргізілген сынаудың санынақатынасын, яғниқатынасын айтады да, оны

1. түрінде жазатын болады. Міне осы қатынасты А оқиғасының статистикалық анықтамасы ретінде қабылдайды. Классикалық анықтамада элементар оқиғалар сандарының шектеулі болатыны, ал іс жүзінде ондай элементар оқиғалар саны шектеусіз екендігінде.

2. Сынаудың нәтижесін әркезде элементар оқиғалардың толық тобы (жүйесі) ретінде қарастыруға болатындығында.

77.Оқиғалар түрлері және олардың ықтималдықтары. Оқиға деп қайсы бір байқау, тәжірибе, эксперимент жасауда белгілі бір шарттардың жиынтығы орындалғанда пайда болатын нәтижені айтады. Оқиғаларды латын алфабитінің бас әріптері A,B,C,.. арқылы белгілейді.

Оқиғалар: Ақиқат, мүмкін емес және кездейсоқ деп үш түрге бөлінеді.

Анықтама. Белгілі бір шарттар жиынтығы орындалғанда:

а) міндетті түрде пайда болатын оқиғаны ақиқат,

б) пайда болмайтын оқиғаларды мүмкін емес,

в) пайда болуы да, болмауы да мүмкін оқиғаны Кездейсоқ оқиғалар деп атайды. Кездейсоқ оқиғаларды зерттеу ықтималдықтар теориясының ең негізгі мақсаты болып саналады. Кездейсоқ оқиғалар үйлесімді, үйлесімсіз, жалғыз ғана мүмкіндікті және тең мүмкіндікті болып үш түрге бөлінеді.

78.Оқиғалардың толық тобы. Тек қана бір мүмкіндікті оқиғалардың жиынтығы олардың толық тобы деп аталады.

Басқа сөзбен айтқанда, тәжрибенің әр бір қайталануында оқиғалардың ең болмағанда бірі пайда болып отырса, онда ондай оқиғаларды толық топ құрайтын топ деп атайды.

Мысалы, ойын сүйегінің 6 жағының бірінің пайда болуы ақиқат. Ендеше, осы 6 оқиға толық топ құрайды.

Теорема. Егер қос-қостан үйлесімсіз кездейсоқ оқиғалар толық топ құратын болса, онда ондай оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы 1 – ге тең:

79.Оқиғалардың тәуелділігі және тәуелсіздігі. Егер қайсы бір А оқиғасының ықтималдығы екінші бір В оқиғасының пайда болуына не пайда болмауына тәуелсіз болса, онда А оқиғасы В оқиғасына тәуелсіз деп аталады.

Ал егер А оқиғасының ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына не болмауына байланысты өзгеретін болса, онда А оқиғасы В оқиғасына тәуелді деп аталады.

80.Қарама-қарсы оқиғалар. . Екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болмауына пара-пар, үйлесімсіз оқиғалар болса, ондай оқиғаларды өзара қарама-қарсы оқиғалар деп атайды. Мұндай оқиғалардың бірін А деп алса, онда екіншісін арқылы белгілейді. Ол екеуінің қосындысы- ақиқат оқиға. Онда

Әдетте арқылы белгілейді. Сонда

81.Толық топ оқиғаларының қосындысының ықтималдығы Тек қана бір мүмкіндікті оқиғалардың жиынтығы олардың толық тобы деп аталады.

Басқа сөзбен айтқанда, тәжрибенің әр бір қайталануында оқиғалардың ең болмағанда бірі пайда болып отырса, онда ондай оқиғаларды толық топ құрайтын топ деп атайды.

Мысалы, ойын сүйегінің 6 жағының бірінің пайда болуы ақиқат. Ендеше, осы 6 оқиға толық топ құрайды.

Егер қос-қостан үйлесімсіз кездейсоқ оқиғалар толық топ құратын болса, онда ондай оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы 1 – ге тең:

82.Екі тәуелсіз оқиғалардың бірге пайда болу ықтималдығы. . Бірге пайда болған екі тәуелсіз оқиғаның ықтималдығы

(6)

Салдар. Жиынтығы тәуелсіз болатын бірнеше

оқиғаларының пайда болу ықтималдығы

(7)

83.Толық ықтималдық формуласы(14)

84.Байес формуласышартты ықтималдықтарды есептейтін Байес формуласы

85.Тәуелсіз сынаудағы оқиғаның ықтималдығын есептеудің Бернулли формуласы. , ықтималдықтарды көбейту теоремасы бойынша әрбір схема ықтималдығы ал схема саныболады. Олай болса, толық ықтималдық(19)

Осы шыққан формуланы Бернулли формуласы деп, ал оны қорытып шығарудағы схемаларды Бернулли схемасы немесе тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы деп атайды.

86.Лапластың локалдық формуласы

87.Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы. 1 – теорема. (Лапластың локальдық теоремасы)

Егер әрбір тәуелсіз сынауда қайсы бір А оқиғасының пайда болу ықтималдығы ға тең болса, ондасынауда А оқиғасыныңрет пайда болу ықтималдығы

, (25)

бұл жерде

функциясын Лаплас функциясы деп аталады және оның мәндері кесте арқылы берілген. функциясы жұп, яғни

Мұндағы

(26) формуланың оң жағын түрлендірейік:

Сонда (27)

Ал (28)

функциясы Лаплас функциясы деп аталады. Ол тақ,

2 – теорема. Егер А оқиғасының әрбір тәуелсіз сынауда пайда болуының ықтималдығы тұрақты жәнеболса, онда А оқиғасыныңсынауда- ден-ге дейін () пайда болуының ықтималдығы (әрине)

(26)

_88.тәуелсіз сынауда оқиғаның дәлрет пайда болуының ықтималдығын есептейтін Пyассон формуласы. Ал енді ықтималдықтың мәні өте аз болса, онда осыған дейінгі қарастырылған формулалардың біреуіде есептеуге ыңғайлы болмайды.

Бұл жағдайда Пуассон формуласын пайдаланады. Сынаудың әрбір сериясында тұрақты деп ұйғарамыз дадеп белгілейміз. Бұл жағдайда А оқиғасыныңрет ( сынауда) пайда болуының ықтималдығы

(30)

формуласымен есептелінеді. Бұл формуланы Пуассон формуласы деп атайды.

89Ең ықтималды сан дегеніміз және оны табуды анықтайтын формула.