Емтихан сұрақтары

1. Анықтауыш дегеніміз не? Қалай есептеледі?

2. Матрицаның анықтауыштан айырмашылығы неде?

3. Екі матрицаны көбейту қай кезде орындалады?

4. Матрицаның рангісі дегеніміз не?

5. Кері матрицаны қалай табады?

6. Үйлесімді, үйлесімсіз жүйелер дегеніміз не?

7. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі

8. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің кері матрица әдісі

9. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі дегеніміз не?

10. Векторлардың векторлық көбейтіндісі қалай табылады?

11. Векторлардың аралас көбейтіндісі қалай анықталады? Оның қасиеттері қандай?

12. Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі қандай?

13. Жазықтықтағы екі түзудің параллельдік, перпендикулярлық шарттары қандай?

14. Жазықтықтағы түзудің қандай теңдеулерін білесіз?

15. Жазықтықтың қандай теңдеулері бар?

16. Кеңістіктегі түзудің қандай теңдеулері бар?

17. Жазықтық пен түзудің параллельдік, перпендикулярлық шарттары қандай?

18. Екі жазықтықтың параллельдік, перпендикулярлық шарттары қандай?

19. Екінші ретті қисықтардың ықшам теңдеулері қандай?

20. Екінші ретті беттердің ықшам теңдеулері қандай?

21. Функция дегеніміз не?

22. Күрделі функция дегеніміз не?

23. Тізбек шегі туралы теоремалар қандай?

24. Функцияның нүктедегі шегі дегеніміз не?

25. Функцияның ақырсыздықтағы шегі дегеніміз не?

26. Шексіз аздарды қалай салыстырады?

27. Функцияның үзіліс нүктелерін қалай анықтайды?

28. Функция туындысына анықтама беріңіз?

29. Логарифмдік дифференциалдау әдісін тұжырымдаңыз.

30. Функция дифференциалы түрінің инварианттылығы дегеніміз не?

31. Жоғарғы ретті туындыларды қалай табады?

32. Функцияны экстремумға қалай зерттейді?

33. Функцияның өсу, кему аралықтарын қалай анықтайды?

34. Тейлор, Маклорен формулаларын жазыңыз

35. Лопиталь ережесі не үшін қолданылады?

36. Функцияның асимптоталарының қандай түрлері бар?

37. Анықталмаған интегралдың бар болу шарты қандай?

38. Жоғарғы шегі айнымалы анықталған интегралдың туындысы неге тең?

39. Меншіксіз интегралдар дегеніміз не?

40. Ньютон-Лейбниц формуласы қандай

41. Көп айнымалы функцияның анықтамасы.

42. Көп айнымалы функцияның дербес туындысы деген не?

43. Көп айнымалы функцияның дербес туындысы деген не?

44. функциясының нүктесіндегі локальдық максимум шартының жеткілікті шартын келтіріңдер.

45. Қай шарт орындалғанда екі айнымалы функцияның экстремумы жоқ.

46. Лагранж функциясының экстремумын қажетті шарттарын жазыңдар.

47. Жәй дифференциалдық теңдеудің анықтамасы

48. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі

49. Коши есебі. Дербес шешімі

50. Айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеулер

51. Біртекті дифференциалдық теңдеулер

52. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бернулли әдісі. Лагранж әдісі

53. Бернулли теңдеуі

54. Толық дифференциалдық теңдеулер

55. Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер.

56. Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі.

57. Дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері және жалпы шешімнің құрылымы

58. Жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі.

59. Жоғарғы ретті сызықтық диффренциалдық теңдеулер. Коши есебі.

60. Біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері және жалпы шешімнің құрылымы

61. Біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдерінің құрылымы

62. Коэффициентті тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер.

63. Эйлер әдісі. Сипаттаушы теңдеу.

64. Коэффициентті тұрақты біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдерін сұрыптау әдісімен табу.

65. Сандық қатардың анықтамасы.

66. Қатардың бөлік қосындысы.

67. Қатардың қосындысының анықтамасы.

68. Сандық қатардың жинақтылығы мен жинақсыздығы.

69. Жинақтылықтың қажетті шарты.

70. Таңбалары оң қатарды салыстырудың бірінші белгісі.

71. Таңбалары оң қатарды салыстырудың екінші белгісі.

72. Даламбер белгісі.

73. Коши белгісі.

74. Таңбалары ауыспалы қатарлар. Абсолютті және шартты жинақтылық.

75. Таңбалары алма-кезек ауыспалы қатарлар. Лейбниц белгісі.

76. Ықтималдықтың классикалық және статистикалық анықтамалары. Олардың айырмашылығы.

77. Оқиғалар түрлері және олардың ықтималдықтары.

78. Оқиғалардың толық тобы.

79. Оқиғалардың тәуелділігі және тәуелсіздігі.

80. Қарама-қарсы оқиғалар.

81. Толық топ оқиғаларының қосындысының ықтималдығы

82. Екі тәуелсіз оқиғалардың бірге пайда болу ықтималдығы.

83. Толық ықтималдық формуласы

84. Байес формуласы

85. Тәуелсіз сынаудағы оқиғаның ықтималдығын есептеудің Бернулли формуласы.

86. Лапластың локалдық формуласы

87. Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы.

88. тәуелсіз сынауда оқиғаның дәл рет пайда болуының ықтималдығын есептейтін Пуассон формуласы.

89. Ең ықтималды сан дегеніміз және оны табуды анықтайтын формула.

90. Анықтауыш дегеніміз не? Қалай есептеледі?

Анықтауыштар. Әрбір квадрат матрица үшін белгілі бір ереже бойынша туындаған сан осы матрицаның анықтауышы болады.

Анықтама. Екінші ретті анықтауыш деп сандар кестесіне сәйкес келетінайырымын айтамыз.

Анықтама. Үшінші ретті анықтауыш деп сандар кестесіне сәйкес келетін мына санды айтамыз:.

Бұл ережені үшінші ретті анықтауышты есептеудің Саррюс немесе үшбұрыштар ережесі деп атайды.

Анықтама. элементтен тұратын квадрат кестесіне сәйкес- ретті анықтауыш деп жіктелу туралы және басқа да қасиеттерді пайдалана отырып алынған санды айтады, оны мына cимволмен белгілейді:.

- анықтауыштың - элементінің миноры деп, осы анықтауыштың- жатық,- тік жолдарынсыз алынған- ретті анықтауышты айтамыз және оныәрпімен белгілейміз.

91. Матрицаның анықтауыштан айырмашылығы неде?

92. Екі матрицаны көбейту қай кезде орындалады?

. Матрицаны матрицаға көбейту үшін бірінші көбейткіш матрицаның тік жолдарының саны екінші көбейткіш матрицаның жатық жолдарының санына тең болуы керек, яғни . Нәтижеде шыққанС матрицасының жатық жолының саны бірінші матрицамен, тік жолының саны екінші матрицамен бірдей болады. Ал оның кез келген элементі мына формуламен анықталады:

, .

Көбейтуде мына қасиеттер орындалады: а) (терімділік қасиет);

б) (үлестірімділік қасиет). Жалпы жағдайда, ауыстырымдылық қасиет орындалмайды:. Ал, егерорындалса, ондай матрицалар ауыстырымды деп аталады

93. Матрицаның рангісі дегеніміз не?

А матрицасының рангісі деп оның нөлге тең емес минорларының ең үлкен ретін айтады. Және ол немеседеп белгіленеді.Реті рангіні анықтайтын минор базистік минор деп аталады. Базистік минорлар бірнеше болуы мүмкін.Сонымен, матрица рангісі базистік жатық (тік) жолдар санын анықтайды, ал қалған жатық (тік) жолдары осы базистік деп аталатын жатық (тік) жолдардың сызықтық комбинациялары болады.Матрица рангін көмкеруші минорлар әдісімен және элементар түрлендіру (Гаусс әдісі) әдісімен табуға болады

94. Кері матрицаны қалай табады?

Ерекше емес квадрат матрицаның бір ғана кері матрицасы болады.

Кері матрица мына формуламен анықталады:

, мұндағы А*- транспонирленген тіркелген матрица.

Кері матрицаның қасиеттері:

1. ; 2. ;

. А матрицасының кері матрицасы деп, теңдіктерін қанағаттандыратынматрицасын айтады, мұндағыЕ-бірлік матрица.

95. Үйлесімді, үйлесімсіз жүйелер дегеніміз не?

Жүйенің барлық теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын сандары жүйенің шешімі деп аталады. Шешімі бар жүйені үйлесімді, шешімі жоқ жүйені үйлесімсіз деп атайды. Бір ғана шешімі бар жүйені анықталған, ал кем дегенде екі шешімі бар жүйені анықталмаған жүйе деп атайды. Егерболса, онда жүйе квадратты жүйе деп аталады.

96. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі

Гаусс әдісі (элементар түрлендіру әдісі). Бұл әдіспен квадратты емес жүйелерді де шешуге болады. Берілген жүйенің- кеңейтілген матрицасына элементар түрлендірулер жасау арқылы оған эквивалентті трапеция тәріздес немесе үшбұрышты матрица аламыз. Осы алынған матрицаға сәйкес жүйені шешсек, берілген жүйенің шешімдері табылады.

Егер үшбұрышты матрица шықса, онда жүйенің бір ғана шешімі болады (үйлесімді, анықталған), ал, егер трапеция тәріздес матрица шықса, онда жүйенің шексіз көп шешімі болады (үйлесімді, анықталмаған).Берілген жүйені зерттеу деп оның шешімінің бар-жоғын анықтауды айтады

97. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің кері матрица әдісі

Матрицалық әдіс. Сызықты алгебралық біртекті емес квадратты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы ерекше емес болса, онда оны кері матрица әдісімен шешуге болады. Жүйенің матрицалық теңдеуі: . Сол жағынан теңдеуді- ге көбейтсек:. Бұдан:. Осы формуламенХ-матрица –шешімді табу кері матрица әдісі деп аталады.

Мысал. Жүйені шешіңіз: Шешуі:

.

.

98. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі дегеніміз не?

1) Векторлардың скаляр көбейтіндісі.

және векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың модульдері мен олардың арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең немесе олардың сәйкес координаттарының көбейтінділерінің қосындысына тең санды айтады, яғни.Скалярлық көбейтіндіден векторлардың арасындағы бұрыштың косинусын табуға:

және векторлардың перпендикулярлық (ортогональдық) шартын анықтауға болады:

99. Векторлардың векторлық көбейтіндісі қалай табылады?

) Векторлардың векторлық көбейтіндісі.

Екі жәневекторының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі 3 шартпен анықталатынвекторын айтады:

1. векторы осы векторлардың әрқайсысына перпендикуляр, яғни;

2. бағыты векторның соңынан қарағандавекторынанвекторына ең қысқа бұрылу сағат тілінің бағытына қарама-қарсы болатындай болса, яғни-оң жүйе;

3. векторының модуліменкөбейткіш векторлары арқылы салынған параллелограммның ауданына тең, яғни_пар-м

Координаттық түрде векторлық көбейтінді мына формуламен анықталады:

100. Векторлардың аралас көбейтіндісі қалай анықталады? Оның қасиеттері қандай?

- үш вектордың аралас көбейтіндісі.

Аралас көбейтінді дегеніміз – векторлық-скалярлық көбейтінді. Компланар емес - үш вектордың аралас көбейтіндісі депменвекторларының векторлық көбейтіндісінвекторына скалярлық көбейтуді айтады.

Координаттық түрде мына формуламен анықталады:

Аралас көбейтіндінің шамасы көбейткіш-векторлармен тұрғызылған параллелепипедтің көлеміне тең, яғни V_пар-д. Егер векторлар компланар болса, онда . Векторлардың аралас көбейтіндісі параллелепипедтің немесе пирамида көлемдерін табу үшін қолданылады, яғниV_пар-д=6V_пир.

101. Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі қандай?

Жазықтықтағы түзудің әртүрлі теңдеулері.

. Түзудің жалпы теңдеуі: . 1-нші теңдеудегідеп белгілесек, жалпы теңдеуі шығады.., алболады.

102. Жазықтықтағы екі түзудің параллельдік, перпендикулярлық шарттары қандай?

Екі түзулердің параллельдік белгісі: немесе.

Екі түзудің перпендикулярлық белгісі: немесе.

103. Жазықтықтағы түзудің қандай теңдеулерін білесіз?

Түзудің канондық теңдеуі: ., яғнимен- коллинеар, ендеше, кординаттары пропорционал.- бағыттауыш вектор

. Екі нүктеден өтетін түзу теңдеуі: .

Түзудің параметрлік теңдеуі. . 3-тегі қатынастыдеп белгілеп, ол қатынастарданх пен у-ті табамыз

Берілген бір нүктеден өтіп берілген векторға перпендикуляр түзудің теңдеуі: ..Түзу бойынан еркімізшенүктесін алып,векторын қарастырамыз.,-нормаль вектор

104. Жазықтықтың қандай теңдеулері бар?

1.Бір нүктеден өтіп берілген векторға перпендикуляр болатын жазықтық теңдеуі: .

2. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі:

3. Жазықтықтың жалпы теңдеуі: , мұндағыА, В, С- коэффи-циенттерінің ең болмағанда біреуі нөлге тең емес және ,.

105. Кеңістіктегі түзудің қандай теңдеулері бар?

Кеңістіктегі түзу. Кеңістіктегі түзудің әртүрлі теңдеулері.

1) Түзудің векторлық-параметрлік теңдеуі: , мұндағы- радиус-векторлар,- бағыттауыш векторы,-параметр

2) , бұл теңдіктер түзудің параметрлік теңдеуі деп аталады.

3) теңдеуді кеңістіктегі кез келген нүктеден өтіп бағыттауыш векторымен берілген түзудің ықшам (канонды) теңдеуі деп атайды.

Ескерту. Теңдеудегі бөлімдердің біреуінің нөлге айналуы оған сәйкес алымның да нөлге айналуын білдіреді

5) Кеңістіктегі түзуді екі жазықтықтың қиылысу сызығы ретінде қарастыруға болады және оны түзудің жалпы теңдеуі дейді:

, мұндағы .

4) түзуінүктелері арқылы өтетін болсын.деп алсақ, екі нүктеден өтетін түзу теңдеуін табамыз:

106. Жазықтық пен түзудің параллельдік, перпендикулярлық шарттары қандай?

Кеістіктегі түзу мен жазықтық арасындағы бұрыш деп түзу мен оның жазықтықтағы проекциясы арасындағы бұрышты айтады:

а) Параллельдік шарты: .

б) Перпендикулярлық шарты: .

107. Екі жазықтықтың параллельдік, перпендикулярлық шарттары қандай?

а) Екі жазықтықтың параллельдік белгісі:

б) Екі жазықтық перпендикулярлық белгісі:

.

Берілген нүктеденжазықтығына дейінгі арақашықтық мына формуламен табылады:.

108. Екінші ретті қисықтардың ықшам теңдеулері қандай?

109. Екінші ретті беттердің ықшам теңдеулері қандай?

110. Функция дегеніміз не?

Функция. Анықтама. Х жиынының кез келген х элементіне У жиынының кем дегенде бір у элементін сәйкес қоятын белгілі бір заңдылықты немесе ережені функция деп атайды да, деп белгілейді. Мұндағых-ті тәуелсіз айнымалы немесе аргумент деп, ал у айнымалысын тәуелді айнымалы немесе функция деп, х пен у-тің арасындағы байланыс функционалдық байланыс деп аталады. у-тің мәнін табу үшін х айнымалысына қолданылатын ереже тағы басқа символдарымен белгіленеді. Мысалы,функциясындағыережесі – квадраттау амалы. Функция мәндері өз мағынасын жоғалтпайтындай аргументх-тің барлық нақты мәндер жиынын анықталу облысы дейді. Функцияның анықталу облысындағы қабылдайтын нақты мәндерінің жиынын оның өзгеру облысы деп атайды. Х, У жиындары нақты сандар болса, функция нақты сандық функция деп аталады.

111. Күрделі функция дегеніміз не?

112. Тізбек шегі туралы теоремалар қандай?

Тізбек шегі. Анықтама. Егер бір заңдылықпен, не ережемен әрбір натурал санына сәйкес нақты бір ғанамәні анықталса, онда біз санды тізбек берілді дейміз. Санды тізбекнемесесимволдарымен белгіленеді;-оның жалпы мүшесі немесе-ші мүшесі деп аталады., сондықтан, тізбекті натурал аргументтің функциясы деп те атайды. Тізбектің геометриялық кескіні-абсцисса өсіндегі нүктелер. Санды тізбекке арифметикалық амалдар қолдана отырып, жаңа санды тізбек алуға болады.

. Егер М және сандары бар болып,тізбегінің кез келгенмүшесі үшінтеңсіздігі орындалса, онда санды тізбек шектелген деп аталады. Егер тізбек ешбір санмен шектелмеген болса, онда оны шектеусіз тізбек деп атайды.

1. тізбегі шектелген, себебі, оның мүшелері үшінтеңсіздігі орындалады.

2. тізбегі шектелмеген, себебі,А-ның қандай мәнінде болмасын тізбектің бір мәні табылып,теңсіздігі орындалады.

113. Функцияның нүктедегі шегі дегеніміз не?

Функцияның нүктедегі шегінің анықтамасы. Егер саны үшінсаны табылып, мына теңсіздіктіқанағаттандыратын барлықүшінтеңсіздігі орындалса, ондаА саны х-тің а-ға ұмтылғандағы функциясының шегі деп аталады және онынемесе,символдарымен белгілейді. Функцияныңнүктесіндегі шегіх-тің а-ға қалай ұмтылатындығына тәуелсіз болады. а-шектік нүкте. Геометриялық мағынасы: аймағындағы барлық нүктелерге сәйкес келетінфункциясының мәндеріаймағында жатады. Яғни, барлық,үшінфункциясының графигіпараллель түзулердің аралығында жатады.

114. Шексіз аздарды қалай салыстырады?

. Шексіз аз шамаларды салыстыру олардың бір-біріне қарағанда нөлге қайсысының тез ұмтылатынын анықтайды. Салыстыру үшін болғанда олардың қатынастарының шегін қарастырады, мұндағыа өзі немесе символдарының бірі.

1. Егер болса, онда-ке қарағанда жоғары ретті шексіз аз шама деп аталады. Оныдеп белгілейді.

115. Функцияның үзіліс нүктелерін қалай анықтайды?

Функцияның нүктедегі үзіліссіздігіне мынандай анықтамалар беруге болады.

1-анықтама. Егер функциясынүктесінде, оның қайсыбір маңайында анықталған болса және аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, яғни, ондафункциясынүктесінде үзіліссіз деп аталады. Мұндағы,- аргумент өсімшесі,оң да, теріс те болуы мүмкін. Ал,-функция өсімшесі (1-сурет).

2-анықтама. Егер , яғни функцияның нүктедегі шегі оның сол нүктедегі мәніне тең болса, ондафункциясынүктеде үзіліссіз деп аталады (2-сурет). Бұдан,функциясынүктеде үзіліссіз болса, онда оның сол нүктедегі біржақты шектері (оң және сол жақтағы шектері) мен сол нүктедегі мәні өзара тең болады.Функцияның үзіліс нүктелері. Бірінші анықтама бойынша:немесе. Егер де бұл теңдік қандай-да бір жағынан орындалмаса, онданүктесі үзіліс нүктесі болады.

Үзіліс нүктелерінің түрлері:

1) Егер болса, онданүктесі функцияның бірінші текті үзіліс нүктесі болады;

2) Егер функцияның нүктесіндегі біржақты шектерінің біреуі немесе екеуі де жоқ болса (болса), онданүктесі екінші текті үзіліс нүктесі болады;

3) Егер функцияның нүктесіндегі біржақты шектері өзара тең, ал осы нүктедегі функцияның мәні не анықталмаған, не біржақты шектерге тең болмаса, яғни, онданүктесі функцияның жөнделетін үзіліс нүктесі деп аталады;

4) айырымыфункциясыныңнүктедегі үзіндісі (секірмесі) деп аталады.

116. Функция туындысына анықтама беріңіз?

Функцияның туындысы. Анықтама. Функция өсімшесі -тің аргумент өсімшесі -ке катынасының нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда оны функциясының х₀ нүктедегі туындысы деп атайды, яғни .

Функцияның қандайда бір аралықтың кез келген нүктесінде туындысы болса, онда оны осы аралықта дифференциалданады дейді. функциясыныңнүктедегі туындысы мынандай символдармен белгіленеді:.

117. Логарифмдік дифференциалдау әдісін тұжырымдаңыз.

Логарифмдік дифференциалдау әдісі. түріндегі функцияны дәрежелі-көрсеткіштік функция дейміз. Мысалы, , ,және т.б. Мұндай түрдегіфункцияның туындысын табу үшін логарифмдік дифференциалдау әдісін қолданамыз. Ол үшін жәнефункцияларының х нүктесінде туындысы бар және функциясы х-тің белгілі бір маңайында оң деп ұйғарамыз. Сосын, теңдіктің екі жағын да логарифмдеп, логарифм қасиеттерін пайдалансақ: болады. Бұл теңдіктен күрделі функцияныңтуындысын табу ережесін колданып туынды табамыз: . Осы теңдеудену'-ті тапсақ, мынадай теңдікті аламыз:

. Сонымен,

Немесе, негізгі логарифмдік теңбе-теңдікті: пайдаланып, дәрежелі-көрсеткіштік функцияны мынадай күрделі көрсеткіштік фукцияға келтіреміз де: ,осы күрделі функциядан туынды табамыз.

118. Функция дифференциалы түрінің инварианттылығы дегеніміз не?

Функцияның дифференциалы. функциясыныңх нүктесінде туындысы бар болсын, яғни . Бұдан,, мұндағыжоғарғы ретті шексіз аз функция, сондықтанфункция өсімшесінің басты бөлігі деп аталады.

Дифференциал табу ережелері туынды табу ережелерінен шығады:

1. , 2., егер х-тәуелсіз айнымалы болса;

3. ; 4.;

5. ; 6.,

7. . Бұл ереже дифференциал түрінің инварианттылығы деп аталады.

119. Функцияның ақырсыздықтағы шегі дегеніміз не?

120. Жоғарғы ретті туындыларды қалай табады?

Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар

Реті бірден жоғары туындылар мен дифференциалдарды жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар деп атайды.

Бірінші туынды -тен алынған туындыныфункциясының екінші ретті туындысы деп атайды да,,символдарының бірімен белгілейді. Сонымен,. Осылайша,;...;

121. Функцияны экстремумға қалай зерттейді?

Функцияның экстремумы. функциясы нүктесін қамтитын интервалда үзіліссіз болсын.

4-анықтама. Егер нүктенің аймағындағы барлықүшінтеңсіздігі орындалса, онданүктесіфункциясының максимум (минимум) нүктесі деп аталады. Максимум (минимум) нүктелеріндегі функцияның мәні сәйкес функцияның максимумы (минимумы) немесе қысқаша функцияның экстремумы деп аталады.

Функцияның экстремумы бар болуының қажетті шарты:

Егер дифференциалданатын функциясыныңнүктеде экстремумы бар болса, онданемесе бұл нүктеде туындысы болмайды.

122. Функцияның өсу, кему аралықтарын қалай анықтайды?

Функцияның өсуі мен кемуі. 1-анықтама. Егер функциясының анықталу облысында жатқанэлементтері үшінтеңсіздігі орындалса, онда ол өспелі (кемімелі) функция деп аталады.

2-анықтама. Егер функциясының анықталу облысында жатқанэлементтері үшінтеңсіздігі орындалса, онда ол кемімейтін (өспейтін) функция деп аталады.

Өспелі, кемімелі және өспейтін, кемімейтін функцияларды бірсарынды функциялар деп атайды.

Функцияның өсуі мен кемуінің қажетті және жеткілікті шарттары:

1. Егер дифференциалданатын функциясыинтервалында өспелі (кемімелі) болса, онда оның осы интервалдағы туындысы теріс (оң) болмайды, яғни.

2. Егер сегментінде үзіліссіз жәнеинтервалында дифференциалданатынфункциясының осы интервалдың әрбір нүктесінде туындысы оң (теріс) болса, яғниболса, ондафункциясы сол интервалда өседі (кемиді).

123. Тейлор, Маклорен формулаларын жазыңыз

Теорема. Егер функциясынүктесінің маңайында анықталған және-нші ретті туындылары бар болса, онда осы маңайдағы кез келгенүшіннүктесі табылып, мына теңдік орындалады:

Бұл теңдік үшін Тейлор формуласы деп аталады.-Тейлор коэффициенттері.деп жазуға да болады.-функцияның-дәрежелі Тейлор көпмүшелігі.функциясы-ті көпмүшелікпен алмастырғанда жіберілетін қатені өрнектейді, Лагранж түріндегі қалдық мүшесі деп аталады..

Егер деп алсақ, Тейлор формуласының дербес түрі - Маклорен формуласын аламыз:,

.

124. Лопиталь ережесі не үшін қолданылады?

есебіне келтіріледі.

1-теорема: Егержәнефункцияларынүктесінің маңайында дифференциалданып,,шарттары орындалып,нүктесінде үзіліссіз болса, онда мына теңдік орындалады:

(1)

2-теорема: Егержәнефункцияларынүктесінің маңайында дифференциалданып,,шарттары орындалса, онда мына теңдік орындалады:

(2)

Ескерту 1.(1), (2) теңдіктердің сол жағындағы шек бар болып, оң жағындағы шек болмауы мүмкін. Яғни, функцияның шегі бар болса да, оны табу үшін Лопиталь ережесі қолданылмауы мүмкін.

2. Кейде Лопиталь ережесін бір есепте бірнеше рет қолдануға тура келеді.

түріндегі анықталмағандықтарға Лопиталь ережелерін пайдалану үшін оларды жәнетүріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз:

1) анықталмағандығын

түрлендіруі түріне, алтүрлендіруітүріне келтіреді.

2) анықталмағандығынтүріне келтіруге болады:.

3) түріндегі анықталмағандықтартүрлендіруі арқылыанықталмағандыққа келтіріледі, яғни(логарифмдеу әдісі қолданылады).

Лопиталь ережелері деп туынды көмегімен анықталмағандықтарды шешу тәсілдері аталады.

125. Функцияның асимптоталарының қандай түрлері бар?

Егер қисығы бойындағы ағымдықнүктесі координат бас нүктесінен алыстаған сайын осы нүкте мен қайсыбіртүзуінің арасындағы қашықтық, ондатүзуін қисықтың асимптотасы деп атайды.

Асимптоаның үш түрі бар: 1) көлденең (горизонталь); 2) тік (вертикаль); 3) көлбеу.

Егер болғандафункциясының шектеулі шегі бар болса, яғни, ондатүзуін көлденең асимптота дейді.

Егер болғанда функцияның біржақты шектерінің кем дегенде біреуі шексіздікке ұмтылса, яғни,теңдіктерінің кем дегенде біреуі орындалса, ондатүзуіқисығының тік асимптотасы деп аталады.

Егер ,ақырлы шектері бар болса, ондатүзуіқисығының көлбеу асимптотасы деп аталады.

126. Анықталмаған интегралдың бар болу шарты қандай?

функциясының аралығындағы барлық алғашқы функцияларының жиынтығыфункциясының анықталмаған интегралы деп аталады және ол былай белгіленеді:(1)

мұндағы, - интеграл белгісі;- интегралдау айнымалысының дифференциалы;- интеграл астындағы функция;-интеграл астындағы өрнек. Бұл өрнек кез келген алғашқы функцияның дифференциалы, яғни. Көбінесе (1) белгіленуіндефункциясы қарастырылып отырған аралығы көрсетілмейді. Онда сол аралық ретінде -тің анықталу аралығы алынып отыр деп түсіну керек.

Анықталмаған интегралды табуды функцияны интегралдау деп атайды.

Анықталмаған интегралдың (алғашқы функцияның) бар болуының жеткілікті шарты:

Теорема. Егер функциясы белгілі бір аралықта үзіліссіз болса, онда сол аралықта оның алғашқы функциясы, яғни анықталмаған интегралы бар болады.

38.Жоғарғы шегі айнымалы анықталған интегралдың туындысы неге тең? Теорема (Жоғарғы шегі айнымалы анықталған интегралдың (функциясы) туындысының қасиеті). Егер- да үзіліссіз болса, онда жоғарғы шегі айнымалы анықталған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияның интегралдың жоғарғы шегіндегі мәніне тең, яғни.