Закон Гука

Английский ученый Роберт Гук экспериментально установил, что напряжения, возникающие внутри стержня в случаях малых деформаций прямо пропорциональны относительным деформациям (закон Гука для упругих деформаций).

 = Е , (3)

Коэффициент пропорциональности Е между величиной внутреннего напряжения  и величиной относительной деформации  зависит от материала и называется модулем Юнга.

Если положить относительную деформацию стержня  равной единице, (l = l стержень удлиняется в 2 раза), то из закона Гука следует, что в этом случае величина внутреннего напряжения численно равна модулю Юнга.

Иногда закон Гука представляют в виде прямой зависимости между упругой силой F_упр, и величиной абсолютной деформации стержня l:

F_упр = k l. (4)

Коэффициент жесткости k численно равен величине упругой силы, которая возникает при единичной абсолютной деформации. Из сравнения с формулой (3) с учетом формул (1) и (2) следует, что коэффициент жесткости зависит как от свойств, так и от размеров тела.

k = S·Е / l (5)

Методика эксперимента

Прибор Лермантова смонтирован на вертикально установленной доске (рис.2); исследуемая проволока 1 жестко закреплена в кронштейне и натянута при помощи груза - металлического цилиндра 7, основание которого снабжено крючком для подвеса грузов.

Рычажок S длиной r жестко скреплен с зеркальцем 3 под прямым углом, и вся система может поворачиваться вокруг горизонтальной оси 4. Правый конец рычажка лежит на металлическом цилиндре 7. Вначале рычажок расположен горизонтально. Когда подвешивается груз 2, проволока растягивается. Цилиндр и конец рычажка 5 опускается, рычажок вместе с зеркальцем 3 поворачивается на некоторый угол . При этом, если в начале в трубу через зеркальце было видно деление N₁ шкалы 6, то после поворота в зеркальце будет видно другое деление N₂.

Р ис.2. Схема установки.

1- стальная проволока, 2- груз, 3- зеркальце, 4- ось вращения зеркальца, 5- рычажок, 6- шкала, 7- металлический цилиндр, 8- зрительная труба.

Поскольку угол падения светового луча равен углу отражения, то угол поворота луча будет равен 2.

Абсолютное удлинение проволоки l связано с длиной рычажка r и углом поворота  соотношением

l/r = tg. (6)

Угол  связан с изменением N = N₂N₁ наблюдаемого деления шкалы соотношением

N/L = tg2. (7)

Так как угол  мал, то приближенно можно записать

N/L  2l/r. (8)

Таким образом, можно определить относительное удлинение проволоки методом “шкала-зеркальце”.

. (9)

Внутреннее напряжение  вычисляется по формуле:

, (10)

где D - диаметр проволоки,

m - масса груза, растягивающего проволоку.

Как следует из формулы (3), модуль Юнга Е имеет смысл коэффициента пропорциональности между напряжением  и относительной деформацией ..

Логическая схема эксперимента.

Требуется экспериментально установить связь между механическим напряжением в стержне и его удлинением.

1. Напряжение определяется через приложенную к стержню силу.

2. Удлинение стержня вызывает поворот зеркала, приводящий к изменению наблюдаемого деления шкалы.

Выполнение работы

1. Заготовьте таблицу

Таблица 1.

№ п/п	mi, кг	N1i, мм	N2i, мм	Ni, м

L = .....; l = ......; D = .....; r = ...... .

2. Установите шкалу 6 на расстоянии примерно L = 1,5 - 2,5 м от зеркальца 3. Рядом со шкалой установите зрительную трубу 8. Наведите трубу на зеркальце так, чтобы в зеркальце была видна шкала с делениями. Перемещая окуляр трубы, добейтесь резкого изображения шкалы.

3. Измерьте расстояние L. Микрометром измерьте диаметр проволоки D. Миллиметровой линейкой измерьте длину r рычажка 5. Длину следует измерять от оси вращения до упора рычажка. Результаты запишите в отчет.

4. Зафиксируйте наблюдаемое без нагрузки деление N₁. Подвесьте на крючок цилиндра 7 груз массой m. зафиксируйте наблюдаемое с нагрузкой деление N₂. Снимите груз и проверьте повторение значения N₁. В случае несовпадения значений повторите опыт.

5. Аналогично повторите опыт 5 раз постепенно увеличивая массу подвешиваемого груза m_i. Результаты запишите в таблицу отчета.