Работа № 1-7 ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ НА МАЯТНИКЕ МАКСВЕЛЛА

ЦЕЛЬ: экспериментально проверить закон сохранения энергии поступательно-вращательного движения на маятнике Максвелла; определить скорость поступательного движения маятника по энергетическим и кинематическим соотношениям и сравнить их.

ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Максвелла со сменными кольцами; электронный секундомер.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Наиболее общей мерой движения материи является ее энергия. В механике  это механическая энергия, соответствующая механическому движению тел. Различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.

Потенциальная энергия. Энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел и зависящая только от координат, называется потенциальной. Работа А₁₂, совершаемая консервативными силами при переводе системы из одного состояния в другое, равна убыли потенциальной энергии в этих состояниях.

А₁₂ = W₁ - W₂, (1)

где W₁ и W₂  соответственно потенциальная энергия системы в состояниях 1 и 2.

Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля. В поле силы тяжести потенциальная энергия тела массы m имеет вид:

W = m·g·h , (2)

где g  ускорение свободного падения;

h  высота, отсчитанная от уровня, где потенциальная энергия W=0.

Кинетическая энергия. Это энергия, которой обладает тело (либо система тел) благодаря их движению. В случае, если тело движется поступательно со скоростью v и одновременно вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью , то полная кинетическая энергия его движения равна:

, (3)

где m  масса тела;

I  момент инерции.

Как видно, при вращательном движении роль линейной скорости играет угловая скорость, а роль массы  момент инерции. Момент импульса I зависит не только от массы, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. Значение I для некоторых тел правильной геометрической формы (длинный стержень, диск, шар, цилиндр) приведены в учебниках по курсу общей физики.

Закон сохранения энергии. Механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют консервативные силы остается постоянной. В таких системах при движении тела происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, а полная энергия остается постоянной. (К консервативным силам относятся гравитационные, упругие, кулоновские и др.. Неконсервативными силами являются силы трения, сопротивления, неупругих деформаций.).

Механическая энергия сохраняется и в незамкнутых системах, если внешние силы не совершают работу, поскольку мерой измерения энергии является совершаемая работа.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Проверка закона сохранения энергии поступательно-вращательного движения тела выполняется на маятнике Максвелла. Маятник Максвелла  это диск, закрепленный на оси. Ось, в свою очередь, подвешена на двух нитях, закрепленных верхними концами на кронштейнах.

Эти нити могут наматываться на ось, а при раскручивании их маятник совершает поступательно-вращательное движение, т.е. поднимается и опускается, вращаясь.

В процессе эксперимента выделены два основных состояния. В состоянии 1 маятник массой m находится на высоте h . Механическая энергия системы в этом состоянии равна только потенциальной энергии:

E₁ = W₁ = m·g·h. (4)

Отпустим маятник. Под действием равнодействующей сил тяжести и натяжения нити он начинает падать вниз (поступательное движение), а силы натяжения нитей приведут его во вращательное движение.

Рис. 1. Общий вид маятника Максвелла.

Т - сила натяжения нити; F_g - сила тяжести.

В состоянии 2 маятник, опустившийся с высоты h, движется поступательно с скоростью v, вращаясь при этом вокруг оси, проходящей через центр масс с угловой скоростью . Следовательно, механическая энергия системы в состоянии 2 складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движения:

. (5)

В выделенной системе (маятник в поле сил тяжести) должен выполняться закон сохранения энергии. Сила тяжести  консервативная сила. Сила натяжения нити является внешней силой. но она не совершает работы, т.к. ее точка приложения при малом повороте маятника остается на месте. Следовательно:

. (6)

Скорость поступательного движения маятника связана с угловой скоростью соотношением

v = ·r, (7)

где r  радиус оси маятника.

Тогда формула (6) примет вид:

2gh = v²(1+I/mr²). (8)

А скорость поступательного движения маятника приобретает значение:

. (9)

Для проверки закона сохранения энергии вычислим скорость другим независимым способом, используя известные кинематические соотношения. Т. к. движение маятника является равноускоренным, то, если за время падения t маятник прошел путь h, его ускорение равно

a = 2h / t². (10)

Отсюда скорость поступательного движения маятника в конце пути:

v = a t = 2h/t. (11)

Скорость в (9) зависит от момента инерции маятника, который можно изменять, устанавливая на диск различные кольца. Момент инерции маятника определяется как

I = I₀ + I_Д + I_К. (12)

где I₀ - момент инерции оси,

- момент инерции диска,

- момент инерции кольца,

R_Д, R_К - радиусы диска и кольца.

Радиус кольца берется как среднее значение между внутренним и внешним радиусами. Так как радиус оси маятника значительно меньше радиуса диска, моментом инерции оси можно пренебречь.

Логическая схема метода.

Если скорость, определенная из закона сохранения энергии по соотношению (9) будет равна скорости, определенной кинематически по формуле (11), то это подтверждает сохранение энергии для выделенной системы.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Измерьте время падения маятника с одним из колец, указанных преподавателем.

2. Повторите измерения 5-10 раз.

3. Измерьте высоту падения и высоту подъема маятника.

4. Измерьте штангенциркулем диаметр оси маятника, внутренний и внешний диаметр кольца.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Вычислите среднее значение времени падения <t> и статистическую погрешность измерения t.

2. Рассчитайте скорость v₁ по соотношению (11).

3. Вычислите погрешность измерения скорости v₁ по правилу вычисления погрешности для косвенных измерений.

4. Вычислите момент инерции маятника с кольцом. Массы диска и кольца нанесены на них.

5. Вычислите скорость маятника v₂ по соотношению (9).

6. Определите меру несовпадения  = (v₁ - v₂)/ v₁ и сравните с относительной погрешностью  _v1 = v₁ / v₁.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Определите потери энергии по разности между высотой падения и последующей высотой подъема маятника.

2. Вычислите среднюю эффективную силу трения, создающую потери энергии.

КОНТОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие существуют виды механической энергии? Дайте их определения.

2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии системы и условия его выполнения.

3. Опишите превращение энергии для маятника Максвелла.

4. Что такое момент инерции тела? Чему равен момент инерции диска, кольца?

5. Как определяется скорость поступательного движения маятника Максвелла?

ЛИТЕРАТУРА

[1: §§ 22, 24, 41, 43]; [2: §§ 24, 32, 33]; [3: §§ 11, 12, 13]; [5: 13].

49