Интегральная теорема Лапласа
Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Необходимо вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить "от до раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.
Теорема 3.2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз,
где .
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в прил. 2, где даны значения функции для положительных значений , для используют ту же таблицу (функция нечетна, т. е. ). Таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз,
где .
Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Вычислим пределы интегрирования:
нижний
верхний
Таким образом
По таблице прил. 2 находим
Искомая вероятность
Применение интегральной теоремы Лапласа
Если число (число появлений события при независимых испытаниях) будет изменяться от до , то дробь будет изменяться от до . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:
(3.6) |
Поставим задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства , что то же самое, . Эту вероятность будем обозначать так: . С учетом формулы (3.6) для данной вероятности получаем
(3.7) |
Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна, . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение. По условию . Требуется найти вероятность . Используя формулу (3.7), получаем
По таблице прил. 2 находим , следовательно, . Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544. Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит 0,03.
Формула Пуассона для маловероятных событий
Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но при небольшом значении произведения получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.
Теорема 3.3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний достаточно велико, но значение произведения остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз,
Для упрощения расчетов с применением формулы Пуассона составлена таблица значений функции Пуассона (см. прил. 3).
Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
Решение. Здесь . Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого события применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (прил. 3) при получаем .
Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее :
Поэтому согласно формуле Лапласа искомая вероятность
а согласно формуле Бернулли точное ее значение
Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей по приближенной формуле Лапласа составляет
, или
а по формуле Пуассона —
, или
т. е. во много раз меньше.