Наивероятнейшее число появлений события
Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называется такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события . Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании. Обозначим вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу . Используя формулу (3.2), записываем
(3.3) |
Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события соответственно и раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность , т. е.
Подставляя в неравенства значение и выражения вероятностей и , получаем
Решая эти неравенства относительно , получаем
Объединяя последние неравенства, получаем двойное неравенство, которое используют для определения наивероятнейшего числа:
(3.4) |
Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице, т. е.
и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что: 1) если — целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;
2) если — дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);
3) если — целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .
При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для расчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга
справедливую для достаточно больших , и принять наивероятнейшее число , то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу: (3.5) |
Пример 2. Известно, что часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий в количестве 250 шт. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.
Решение. По условию . Согласно неравенству (3.4) имеем
откуда . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии из 250 шт. равно 234. Подставляя данные в формулу (3.5), вычисляем вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если , то для отыскания вероятности надо вычислить значение выражения
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции
при .
Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция четна, т. е. .
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,
где .
Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:
Вычислим определяемое данными задачи значение :
По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):