Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Повторные независимые испытания лекция.doc
Скачиваний:
74
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
258.05 Кб
Скачать

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события  в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа  появлений события  в результате  испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события  в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

Формула Бернулли

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события  в –м испытании.

Пусть проводится  независимых испытаний, в каждом из которых событие  может либо появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие  в этих  испытаниях наступит ровно  раз и, следовательно, не наступит ровно  раз. Обозначим  появление события , a  — непоявление события  в –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

Событие  может появиться  раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из  элементов по , т. е. . Следовательно, событие  можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно :

где в каждое произведение событие  входит  раз, а  —  раз. Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее количество таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события  (обозначим ее )

(3.2)

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле (3.2) получаем

Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Решение.