Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тамбовский Государственный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика-2

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

253.16 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МАТЕМАТИКА

Часть 2

♦ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ ♦

Министерство образования и науки Российской Федерации

Тамбовский государственный технический университет

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Учебные задания для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей

Тамбов ♦ Издательство ТГТУ ♦

2004

УДК 51(07) ББК В11я73-5

М34

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

Рецензент

Доктор физико-математических наук, профессор

А.И. Булгаков

Составители:

А.В. Медведев, В.А. Попов, И.В. Петрова, А.В. Урусов, А.В. Щербакова

М34 Математика: Учебные задания. Ч. 2 / Сост.: А.В. Медведев, В.А. Попов, И.В. Петрова, А.В. Урусов, А.В. Щербакова. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 24 с.

Учебное издание охватывает следующие разделы учебных программ для технических и экономических специальностей: «Матрицы. Определители. Системы линейных алгебраических уравнений», «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия на плоскости» и «Аналитическая геометрия в пространстве». Предложенные задачи являются типовыми, предназначены для аудиторной и самостоятельной работы студентов, а также могут служить основой при составлении вариантов проверочных заданий.

Предназначено для студентов 1 курса инженерных и экономических специальностей.

УДК 51(07) ББК В11я73-5

©Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2004

Учебное издание

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Учебные задания

Составители: МЕДВЕДЕВ Александр Васильевич, ПОПОВ Вячеслав Александрович, ПЕТРОВА Ирина Владимировна, УРУСОВ Александр Иванович, ЩЕРБАКОВА Антонина Васильевна

Редактор В.Н. Митрофанова Инженер по компьютерному макетированию Т.А. Сынкова

Подписано к печати 27.12.2004 Формат 60 × 84 / 16. Бумага газетная. Печать офсетная

Гарнитура Тimes New Roman. Объем: 1,39 усл. печ. л.; 1,2 уч.-изд. л.

Тираж 500 экз. С. 903

Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета

392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1 Даны матрицы А, В, С и число q. Вычислить

B A ; 2) det (B A) ; 3) A B ; 4) A B +q C ; 5) det C ; 6)

A ; 7) A−1 , если

−1

−2

−3 3

−2

а)

q = −3 , A = 2

−3 ,

C = −2 3

3 ;

B =

−4

−3 −1

−7

−2

−3

−4

3 −6

б)

q = 2 , A = 1

2 ,

C = −5 4

−5 ;

B =

−5

1 −3

−7

−2

−5

−3

−4 1

−7

в)

q = −2 , A = 6

1 ,

B =

, C = −5 −4

8 ;

−2

−2 −7

−4

−3

−3 2

г)

q = 3 , A = 2

3 ,

C = −6 5

2 ;

B =

−4

−2

−4

−6

−4

−5

−1

д)

q = −1 , A = 3

2 ,

B =

C = −4 −5

2 ;

−3

−4

−3

−5

−2

−7 −5

е)

q = −4 , A = −1

6 ,

B =

C = 9

6 .

−4

−6

−2

−7

2 Вычислить определитель матрицы А двумя способами: 1) получением нулей в i-й строке и разложением по элементам этой строки; 2) получением нулей в j-м столбце и разложением по элементам этого столбца, если

	−2		−4		−3		3
		−4	−3		2		−		2
а) i = 2, j = 3,											;
	A =	2	1		2		−		2

		−3	−1		4		−		2

	−3		−1		−1		4
		−1	−2		−1		1
б) i = 3, j = 1,										;
	A =	−4	−2		4		4

		−2	1		2		3

	4		2	4	4
		3	4	1	1
в) i = 4, j = 2,								;
	A =	3	−2	4	−2

		2	2	2	3

	−1		3		3	−2
		−3	3	−2		−		2
г) i = 2, j = 3,
	A =	4	−1		4		2			;

		3	1		2		1

	3		2	−1	−1
		−2	2	−2	2
д) i = 3, j = 1,							;
	A =	−4	3	−4	3

		3	1	4	4

	3		3	2	−3
		4	−1	1	1
е) i = 1, j = 4,
	A =	4	−2	4	−2	.

		−1	−4	2	−2

3 Решить следующие системы линейных алгебраических уравнений тремя способами (методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом):

−5x +3y +5z =12,

а) 7x −5y −7z = −20, б)8x −3y −9z = −14;

−6x −3y +8z =−12, г) −2x +7y −6z =54, д)

−2x +9y −8z =68;

−9x +5y +8z = −5, ж) −7x +4 y +6z = −4,

9x −9 y −4z =13.

8x −5y −7z = 7 ,3x +4 y −6z = 22,

7x +4 y +5z = −30;

−2x −3y +3z = 4,−3x +5y +2z =−25,

5x −9y −3z = 44;

4	Решить матричное уравнение A X = B
а)	−7	4	,	28	9	; б)	2	3	,
а)	A =		,	B =		; б)	A =		,
	−3	1		9	1		5	4

−3x −4 y −7z = −4, в) 9x +2 y +6z = −8,−4x +7 y +9z =19;

−4x +3y +7z = −38, е) 5x +2y +4z =8,

−7x +4y +9z = −56;

, где А, В, Х– матрицы, если

4		−7	;
B =	3	−7

	3	−2		10	11		−2		−3	3		−11 −9		13
в)			,			; г) A=		−3	5	2 ,	B=		−9 8	12	;
	A =			B =
	4	3		2	9
								5 −9					14 −15
										−3				−19

	−4		−7 7					20		25 −18
д)		−5	−3 7			,	B =		10	26 −15			;
	A =
		−4	−3 6						10	22 −13

	3 4		−9				6			−38 10
е)		4 5	8		,			47		10 13		;
	A =						B =
		3 4	−5					14		−26 10

	4		7	5				34		6	17
ж)		−5	−8	2		,	B =		−23 −15		−4
	A =												.
		3	5	3					23	5	11

5 Найти решения следующих систем уравнений:

2x −3y +4z =13,

а) −2x +5y +2z = −3,−2x −2 y +3z = 6,

3x +3y −4z = −8,

	−4x −3y +2z = −15,
б)		4x + y +5z = −1,
б)		4x + y +5z = −1,
		3x +2 y + z = 6,
		2x +4 y −3z =14,
		2x +4 y −3z =14,

−3x +3y −2z = 0,

в) −2x +4 y +3z =13,7x −7 y +4z = −2,

5x −2 y +2z = −4,

г)

е)

з)

к)

	5x +2 y +3z = 4,	2x −3y +2z −5w = −8,
		2x −3y +2z −5w = −8,
−3x +3y + z = −1, д)			−5x −2 y −5z +3w =3,
	−x +2 y + z = 0,		3x +7 y +3z +4w =11,
			3x +7 y +3z +4w =11,
	6x +3y +4z =5,
	6x +3y +4z =5,
4x −4 y +3z −2w = −1,				2x +3y −6z −4w =11,

3x −2 y −2z −4w = −3, ж)				−3x +4 y +10z −2w =9,

−5x +7 y −4z +3w =5,				4x −3y −8z +3w = −5,
	4x +8y +3z −2w =8,			3x +2 y +4z +4w = 7,
	4x +8y +3z −2w =8,				+4 y +5z −3w	= −1,
	3x +2 y −4z +3w =11		и)	2x	+4 y +5z −3w	= −1,
	3x +2 y −4z +3w =11		и)	4x	+3y +3z +2w	= −6,
				4x	+3y +3z +2w	= −6,
−2x +5y +7z +2w = 7,

				3x +4 y +3z −3w = 0,
2x +3y +4z +5w =3,
	3x +2 y +2z +4w = 2,
	3x +2 y +2z +4w = 2,

−5x −2 y +3z −2w =5,
	4x −9 y +5z +3w = 26
	4x −9 y +5z +3w = 26

Линейная алгебра

1Образует ли множество векторов на плоскости, начала которых находятся в начале координат, а концы – в пределах первой четверти, линейное пространство (с обычными операциями)?

2Образует ли линейное пространство множество всех векторов на плоскости с исключением векторов, параллельных некоторой заданной прямой?

3Рассмотрим совокупность P одних положительных вещественных чисел. Введем операции по следующим правилам: под «сложением» двух чисел будем понимать их обычное умножение, а под про-

изведением элемента r P на вещественное число λ будем понимать (обычное) возведение числа r в степень λ. Является ли Р с указанными операциями линейным пространством?

4Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из двух различных векторов?

5Задано множество всевозможных упорядоченных систем действительных чисел (x1; x2; ...; xn), (y1; y2; ...; yn), (z1; z2; ...; zn), ... . Сумма двух любых элементов определяется равенством (x1; x2; ...; xn) + (y1; y2;

...; yn) = = (x1 + y1; x2 + y2; ...; xn + yn), а произведение любого элемента на любое действительное число – равенст-

вом λ(x1; x2; ...; xn) = (λx1; λx2; ...; λxn). Доказать, что это множество является линейным пространством.

6Образует ли линейное пространство множество всевозможных упорядоченных систем действи-

тельных чисел вида (x1; x2; 0; 0), (y1; y2; 0; 0), (z1; z2; 0; 0), ... . Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется так же как в задаче 5.

7Образует ли линейное пространство множество всевозможных упорядоченных систем действи-

тельных чисел вида (x1; x2; 1; 1), (y1; y2; 1; 1), (z1; z2; 1; 1), ... . Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется так же как в задаче 5.

8Является ли линейным пространством множество всех многочленов не выше второй степени.

9Является ли линейным пространством множество всех многочленов второй степени.

10Заданы функции f1(x), f2(x), f3(x), ... . Является ли множество этих функций линейным пространством, если эти функции образуют:

а) совокупность всех непрерывных функций на отрезке [a, b];

б) совокупность всех дифференцируемых функций на отрезке [a, b]; в) совокупность всех элементарных функций.

11Образует ли линейное пространство множество всех квадратных матриц размера 2 × 2. Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется по правилам проведения линейных операций над матрицами.

				Образует ли линейное пространство множество всех квадратных матриц вида		x		0		,	y		0	,
		12					1					1
		12					0	x2				0	y2
							0	x2				0	y2
z		0		, … . Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется по
	1
	0	z2
	0	z2
правилам проведения линейных операций над матрицами.
				Образует ли линейное пространство множество всех квадратных матриц вида		x		1		,	y		1	,
		13					1					1
		13					1	x2				1	y2
							1	x2				1	y2
z		1		, … . Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется по
	1
	1	z2
	1	z2
правилам проведения линейных операций над матрицами.
		14		Доказать, что множество всех решений системы линейных однородных					уравнений
a x +b y +c z = 0,					образует линейное пространство.
1			1	1	образует линейное пространство.
a2 x +b2 y +c2 z = 0

15Из линейного пространства исключен вектор x. Может ли полученное после этого исключения множество векторов являться линейным пространством.

16Доказать, что если среди векторов x, y, z, ... имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы.

17Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Являются ли

векторы

Р1

3t2,

Р2

4t2,

Р3 = 3 + 5t + 7t2 линейно зависимыми.

18Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Являются ли векторы Р1 = 1 + 2t2, Р2 = 1 + 3t, Р3 = 4 + t линейно зависимыми.

19Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Являются ли век-

торы e1	1		4	, e2	0		1	, e3	3		−1	, e4	−2		0	линейно зависимыми.
торы e1	=			, e2	=			, e3	=			, e4	=			линейно зависимыми.

		0	6			3	−1			2	0			1	1

20 Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Являются ли век-

торы e1	1		1	, e2	0		1	,	e3	1		2	, e4	4		3	линейно зависимыми.
торы e1	=			, e2	=			,	e3	=			, e4	=			линейно зависимыми.

		2	3			3	−1				5	2			1	1

21 Выяснить, будут ли векторы а1 = (1, 0, 1), а2 = (1, 1, 2), а3 = (2, 1, 2) линейно зависимыми или линейно независимыми.

22 Выяснить, будут ли векторы а1 = (1, 1, 1, 1), а2 = (1, 2, 1, 2),

а3 = (3, 1, 3, 1), а4 = (0, 1, 0, 1) линейно зависимыми или линейно независимыми.

23Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

24Найти все значения λ, при которых вектор b = (7, –2, λ) линейно выражается через векторы а1 = (2, 3, 5), а2 = (3, 7, 8), а3 = (1, –6, 1).

25Найти разложение вектора x в базисе векторов p, q, r, если:

а) x = {–2, 4, 7}, p = {0, 1, 2}, q = {1, 0, 1}, r = {–1, 2, 4};
б) x = {6, 12, –1}, p = {1, 3, 0}, q = {2, –1, 1}, r = {0, –1, 2};
в) x = {1, –4, 4}, p = {2, 1, –1}, q = {0, 3, 2}, r = {1, –1, 1};
г) x = {–9, 5, 5}, p = {4, 1, 1}, q = {2, 0, –3}, r = {–1, 2, 1}.
26	Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Найти коорди-
наты	многочлена		Р	=		8	+	2t		+	6t2	в	базисе
Р1 = 1 + t + t2, Р2 = 1 + t, Р3 = 1.
27	Рассматривается линейное пространство многочленов не выше третьей степени. Найти коорди-
наты многочлена Р = 4 – 3t + 3t2 + t3 в базисе						Р1 = 1 + t + t2 + t3,			Р2 = 1 + t + t2, Р3 = 1 + t,				Р4 = 1.
28	Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Найти координа-
	1	−4	в базисе e1	0	0	0	0	0 1		1 1
ты матрицы e =			в базисе e1	=	, e2 =		, e3	=	, e4	=	.

	12	8		0	1	1	1	1 1		1 1
29	Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Найти координа-
	−3	7	в базисе e1	2	−1	0	1	1	2	−2 0
ты матрицы e =			в базисе e1	=	,	e2 =	,	e3 =	,	e4 =	.

	20	14		0	6	−1 2		2	0		4 1
30	Выяснить, какие из преобразований (операторов) Аx являются линейными и для линейных пре-
образований векторов x = (x1, x2, x3) найти их матрицу:
а) Аx = (x2 + x3, 2x1 + x3, 3x1 – x2 + x3);						б) Аx = (x1, x2 + 1, x3 + 1).
31	Будут ли линейными операторами в пространстве всех многочленов от t:

а)

умножение на t;

б)

умножение на t2;

в) дифференцирование.

Будут ли линейными операторами в пространстве квадратных матриц:

а) умножение матрицы на элемент матрицы а11;

б) умножение матрицы на наибольший элемент матрицы.

В четырехмерном линейном пространстве рассматривается линейное преобразование А. Напи-

сать это преобразование в координатной форме, если Ае1 = е3 + е4,

Ае2 = е1 + е4, Ае3 = е2 + е4,

Ае4 = е2

+ е3.

Пусть в базисе е1, е2, е3 заданны линейно независимые векторы а1, а2, а3. Найти линейное преоб-

разование,

переводящее

векторы

а1,

а2,

а3

соответственно в

b1,

b2,

b3, если

а1

= (2, 3,

5), а2

(0,

2),

а3

(1,

0),

b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, –1), b3 = (2, 1, 2).

Найти линейное преобразование, переводящее векторы а1 = (2, 0, 3), а2 = (4, 1, 5),

а3 = (3, 1, 2)

со-

ответственно

векторы

(1,

–1),

b2 = (4, 5, –2), b3 = (1, –1, 1).

Пусть в базисе е1, е2, е3 задан вектор x = (6, 1, –3). Найти координаты

вектора

x в

базисе

век-

торов

e'1,

e'2,

e'3,

если

e'1

е1

е2

2е3,

e'2 = 2е1 – е2, e'3 = –е1 + е2 + е3.

Пусть в базисе е1, е2, е3 задан вектор x = (1, 2, 4). Найти координаты

вектора

x в базисе векто-

ров

e'1,

e'2,

e'3,

если

e'1

е1

е2

3е3,

e'2 = 1,5е1 – е2, e'3 = –е1 + е2 + е3.

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

−4

A =

−2

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

−1

A =

−1

−1 .

Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

−2

−1

A =

−1

−1 .

−2

Векторная алгебра

1 По данным векторам a и b построить следующие векторы: 1) 2a; 2) –0,5b; 3) 3a + 0,25b; 4) 0,5a – 3b.

2Даны: |a| = 13, |b| = 19 и |a + b| = 24. Вычислить |a – b|.

3Даны: |a| = 11, |b| = 23 и |a – b| = 30. Вычислить |a + b|.

4Даны вершины А(3, 2, –5), В(1, 4, 3) и С(–3, 0, 1) треугольника. Найти координаты середин его сторон.

5Даны вершины А(2, –1, 4), В(3, 2, –6) и С(–5, 0, 2) треугольника. Вычислить длину медианы, проведенной из вершины А.

6Даны три вершины А(3, –1, 2), В(1, 2, –4) и С(–1, 1, 2) параллелограмма. Найти его четвертую вершину D.

7Отрезок прямой, ограниченный точками А(–1, 8, 3) и В(9, –7, 2) разделен точками на пять равных частей. Найти координаты этих точек.

8 Определить при каких значениях α и β векторы a = {–2, 3, β} и b = {α, –6, 2} коллинеарны.

9Проверить, что четыре точки А(3, –1, 2), В(1, 2, –1), С(–1, 1, 3) и D(3, –5, 3) служат вершинами трапеции.

10Даны два вектора a = {3, –2, 6} и b = {–2, 1, 0}. Определить координаты следующих векторов:

1)	a + b;	2)	a – b;	3)	2a;	4) 2a + 3b;	5) 0,5a – b.
11	Даны два вектора a = {2, 4, 3} и b = {–1, 5, 8}. Определить координаты следующих векторов:
1)	a + b;	2)	a – b;	3)	3a;	4) a + 2b;	5) 0,5a – 3b.

Векторы

образуют

угол

ϕ =

;

зная,

что

|a|

|b|

вычислить:

1) ab; 2) a2; 3) b2; 4) (a + b)2; 5) (3a + 2b)(a – b); 6) (a – b)2.

Векторы

образуют

угол

ϕ =

2π

;

зная,

что

|a|

|b|

вычислить:

1) ab; 2) a2; 3) b2; 4) (a + b)2; 5) (3a + 2b)(a – b); 6) (a – b)2.

Даны векторы a = {4, –2, –4} и b = {6, –3, 2}. Вычислить:

1) ab; 2)

a2 ; 3)

b2 ; 4) (2a – 3b)(а + b); 5) (a + b)2.

Даны векторы a = {2, 4, 4} и b = {2, –6, 3}. Вычислить:

1) ab; 2)

a2 ; 3)

b2 ; 4) (3a + 2b)(а – b); 5) (a – b)2.

Даны вершины четырехугольника А(1, –2, 2), В(1, 4, 0), С(–4, 1, 1) и D(–5, –5, 3). Доказать, что

его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

Вычислить

проекцию

вектора

{5,

на

ось

вектора

b = {2, –1, 2} и найти косинус угла между этими векторами.

Вычислить

проекцию

вектора

{6,

на

ось

вектора

b = {2, 2, 1} и найти косинус угла между этими векторами.

Даны вершины А(–1, –2, 4), В(–4, –2, 0) и С(3, –2, 1) треугольника. Определить его внутренний

угол при вершине В.

Даны три вектора a = {2, –1, –3}, b = {1, –3, 2} и с = {3, –4, 12}. Найти вектор x, удовлетворяю-

щий условиям: xa = –5, xb = –11, xc = 20.

Определить и построить вектор c = a × b, если:

1) a = 3i, b = 2k; 2) a = i + j, b = i – j; 3) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k.

Раскрыть скобки и упростить выражения:

1)i × (j + k) – j × (i + k) + k × (i + j + k);

2)(a + b + c) × c + (a + b + c) × b + (b – c) × a;

3)(2a + b) × (c – a) + (b + c) × (a + b);

4)2i (j × k) + 3j (i × k)+ 4k (i × j).

23	Векторы	a и b образуют	угол	ϕ =	2π	; зная, что \|a\| = 1 и \|b\| = 2,

				3
вычислить:
1)	\|a × b\|2;	2) \|(3a + 2b) × (a – b)\|2;	3) \|(a + 3b) × (3a – b)\|2.
24	Даны векторы a = {3, –1, –2} и b = {1, –2, –1}. Вычислить:
1) a × b; 2) (2a + b) × b; 3) (3a + 2b) × (а – b).
25	Даны векторы a = {1, 1, –3} и b = {3, 2, 0}. Вычислить:
1) a × b; 2) (a + 3b) × b; 3) (a + 2b) × (а – 3b).
26	Построить параллелограмм на векторах a = 2j + k и b = i + 2k и вычислить его площадь и высоту.
27	Даны вершины А(1, –2, 8), В(0, 0, 4) и С(6, 2, 0) треугольника. Вычислить его площадь и длину
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
28	Даны вершины А(1, –1, 2), В(5, –6, 2) и С(1, 3, –1) треугольника. Вычислить его площадь и длину
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
29	С помощью векторного произведения выяснить, коллинеарны ли векторы a = {1, 0, 3} и b = {2, 0,
6}.

30 Векторы a, b и с, образующую правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что |a| = 4, |b| = 2 и |с| = 3, вычислить abс.

31 Вектор с перпендикулярен к векторам a и b, угол между векторами a и b равен 30°. Зная, что |a| = 6, |b| = 3 и |с| = 3, вычислить abс.

32 Даны три вектора a = {0, 1, –3}, b = {3, 2, 1}, с = {1, 3, 2}. Вычислить abс. 33 Установить, компланарны ли векторы:

a = {2, 3, –1},

b = {1,

–1, 3},

с = {1, 9, –11};

a = {1, 1, –3},

b = {0,

1, 0}, с = {1, 1, 1};

a = {2, –1, 2},

b = {1,

2, –3},

с = {3, –4, 7}.

Доказать,

что

четыре

точки

А(1,

–1),

В(0,

5),

С(–1,

1),

D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках А(5, 2, 0),

В(2, 5, 0),

С(1, 2,

4), D(0, 0, 0).

Даны вершины

пирамиды:

А(2,

1),

В(4,

–2),

С(6,

7),

D(–5, –4, 8). Найти длину

высоты, опущенной из вершины D.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

1В треугольнике АВС составить уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А. А(–4; 2), В(–7; 7), С(–13; –13).

2В треугольнике АВС составить уравнение прямой, проходящей через вершину А перпендикуляр-

но медиане ВМ. А(0; 4), В(2; 6), С(8; –2).

3В треугольнике АВС найти проекцию вершины В на сторону АС. А(2; 4), В(4; 10), С(6; –2).

4 Составить	уравнения	прямых,	проходящих	через	точку
А(2; 1):
а) параллельно прямой 3x + 2y – 5 = 0;
б) перпендикулярно прямой A(2; 1)		3х + 4у – 2 = 0.

5Зная координаты вершины A(1; 3) треугольника АВС и уравнения двух его медиан х – 2у + 1 = 0;

у– 1 = 0 составить уравнения всех сторон треугольника.

6Пусть стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат на прямых, имеющих следующие уравнения: х + у + 1 = 0; х + 6у + 1 = 0. Составить уравнения высоты, проведенной из вершины А.

7Пусть стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат на прямых, имеющих следующие уравнения: 2х + у – 2 = 0; 5х + у – 2 = 0; x = 1. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины В.

8Найти точку В* симметричную точке В(3; 5) относительно прямой, проходящей через точки А(0; 1) и С(8; –3).

9 Даны	координаты	вершин	четырехугольника	АВСD:	А(0; 1),
В(3; 6), С(8; 2), D(5; –2). Найти угол между диагональю АС и стороной АD.
10 Даны	вершина А(2;	6) треугольника	АВС и уравнения	высот y	= x
и y = –2x, проходящих через вершины В и С. Написать уравнение стороны ВС треугольника АВС.

11Одна из сторон квадрата лежит на прямой 3x + 2y – 7 = 0, а координаты одной из вершин квадрата A(–2; 3). Найти площадь этого квадрата.

12Одна из вершин квадрата А(1; 2) лежит на стороне, уравнение которой 2x + y – 4 = 0. Написать уравнение диагонали квадрата, выходящей из точки А.

13Найти точку А* симметричную точке А(2; 4) относительно прямой 2x + 3y – 12 = 0. Сделать чер-

теж.

14В треугольнике АВС: А(–2; 2), В(2; 5), С(6; –4). Написать уравнение биссектрисы, выходящей из вершины А.

15Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма АВСD: А(–4; 2), В(0; 6), С(6; –2). Найти координаты вершины D. Написать уравнение диагонали ВD.

16Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; –3) и точку М, делящую отрезок ВС в

отношении 3 : 2, где В(4; 1), С(6; 4).

17 Найти точку пересечения медиан треугольника АВС: А(0; 2),

В(4; 1), С(2; –6).

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии, найти эксцентриситет, координаты фокусов(а). Изобразить эту линию.

1)4x2 +25y2 +32x −150 y +189 = 0 .

2)4x2 +16 y2 +8x −160 y +340 = 0 .

3)x2 −2x +6 y +7 = 0 .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.05.20192.06 Mб4Маркетинговые коммуникации..docx
#
21.05.2015558.08 Кб14мат_экз.doc
#
21.05.20151.64 Mб10Матвеева.doc
#
22.05.20151.28 Mб138Математика база.docx
#
22.05.201532.77 Кб33МАТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА.doc
#
22.05.2015253.16 Кб23Математика-2.PDF
#
28.10.20181.45 Mб20математика2.doc
#
22.05.2015112.36 Кб5Материал к теме 14.docx
#
21.05.2015992.26 Кб215Материало короткая.doc
#
23.09.2019151.04 Кб4Материалы для подготовки к тестированию.doc
#
06.09.20198.79 Mб50МБОБЖД.doc